Determine um fator integrante e resolva.

(3 x y - 4 y) d x + (2 x^2 - 4 x) d y = 0 , x > 0 e y > 0

Passo 1

Bora seguir pra letra (f) !!

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = 3 x y - 4 y

Q (x , y) = 2 x^2 - 4 x

Derivando P em y e Q em x:

P_y = 3 x - 4

Q_x = 4 x - 4

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função mu ( x , y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função mu ( x , y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

mu (x , y) = e^(int (P_y - Q_x)/(Q) . d x)

Substituindo:

mu (x , y) = e^(int (( 3 x - 4 ) - ( 4 x - 4 ))/(2 x^2 - 4 x) . d x) = e^(int (- x)/(x ( 2 x - 4 )) . d x) = e^(- (1)/(2) int (1)/(( x - 2 )) . d x)

mu (x , y) = e^(- (1)/(2) . ln ( x - 2 )) = e^(ln (x - 2)^(- (1)/(2)))

mu (x , y) = (x - 2)^(- (1)/(2))

Multiplicando cada termo por (x - 2)^(- (1)/(2)) :

((3 x y - 4 y))/((x - 2)^((1)/(2))) d x + ((2 x^2 - 4 x))/((x - 2)^((1)/(2))) d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = ((3 x y - 4 y))/((x - 2)^((1)/(2)))

(d phi)/(d y) = ((2 x^2 - 4 x))/((x - 2)^((1)/(2)))

Bom galerinha, vamos começar pela primeira condição:

d phi = [((3 x y - 4 y))/((x - 2)^((1)/(2)))] . d x

Quando nós integramos:

phi = (2 x^2 - 4 x)/(sqrt(x - 2)) y + 4 y sqrt(x - 2)

Olhando a segunda:

d phi = [((2 x^2 - 4 x))/((x - 2)^((1)/(2)))] . d y

E integrando:

phi = (2 x^2 - 4 x)/(sqrt(x - 2)) y

Ou melhor:

phi ( x , y ) = (2 x^2 - 4 x)/(sqrt(x - 2)) y + 4 y sqrt(x - 2)

Portanto nós concluímos que a equação ((3 x y - 4 y))/((x - 2)^((1)/(2))) d x + ((2 x^2 - 4 x))/((x - 2)^((1)/(2))) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por (2 x^2 - 4 x)/(sqrt(x - 2)) y + 4 y sqrt(x - 2) = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi ( x , y ) = (2 x^2 - 4 x)/(sqrt(x - 2)) y + 4 y sqrt(x - 2)

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