Resolva o exercício 8 utilizando o exercício 7.

Passo 1

Bom, não tem como avançar sem retomar os exercícios anteriores, então vamos lá.

No exercício 7 tínhamos o seguinte sistema:

{[[overset(˙)(x),=,a_11,x,+,a_12,y],[overset(˙)(y),=,a_21,x,+,a_22,y]])

E no exercício mostramos que:

a_11 + a_22 = 0

È uma condição necessária para que a solução geral do sistema tenha trajetória elíptica.

Passo 2

Certo, agora no exercício 8 tivemos que retomar um assunto de vidas anteriores, ele pedia pra gente calcular uma integral de linha de forma direta e posteriormente aplicando o teorema de Green.

Na ocasião, usando o método de integração direta, chegamos na seguinte solução:

int_gamma Q d x - P d y = int_a^b [Q (gamma (t)) vec i - P (gamma (t)) vec j] . vec v (gamma (t)) d t = 0

Pois, lembre-se de que simplesmente definimos o campo vetorial [Q d x - P d y] em termos da curva gamma .

E não se esquecendo de que mostramos a ortogonalidade de [Q (gamma (t)) vec i - P (gamma (t)) vec j] e vec v (gamma (t)) ; que resulta num produto escalar nulo, zerando a integral.

Na segunda parte do exercício 8, calculamos a integral aplicando o Teorema de Green, e chegamos a seguinte conclusão:

∬_K - ((del P)/(del x) + (del Q)/(del y)) d x d y < 0

Pois,

d i v vec v = ((del P)/(del x) + (del Q)/(del y)) > 0

Passo 3

Certo, agora como a gente pode relacionar esses dois exercícios?!

Talvez uma possibilidade seja considerar o seguinte:

vec v = P (x , y) vec i + Q (x , y) vec j

Com,

{[[P,=,a_11,x,+,a_12,y],[Q,=,a_21,x,+,a_22,y]])

Repare que é exatamente o sistema do exercício 7.

Então, vamos tentar encontrar o divergente de vec v :

d i v vec v = d i v (P (x , y) vec i + Q (x , y) vec j)

Ou seja,

d i v vec v = (del P)/(del x) + (del Q)/(del y)

Onde,

(del P)/(del x) = a_11 e (del Q)/(del y) = a_22

Então,

d i v vec v = a_11 + a_22

Lembre-se de que no exercício 8 queriamos mostrar que utilizando os dois métodos de resolver a integral de linha (de forma direta ou utilizando Green) iríamos obter a mesma resposta; mas isso não aconteceu pois tínhamos:

d i v vec v > 0

Ou seja, se tivermos:

d i v vec v = 0

Seria possível existir uma curva gamma , e de acordo com o exercício 7, existe uma chance de essa curva ser uma elipse.

Resposta

Então, evidentemente para qualquer d i v vec v != 0 não existirá uma curva gamma : [a , b] -> R^2 de classe C^1 , fechada e simples.

Agora, caso d i v vec v = 0 essa curva existe, e pode ser uma elipse.

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