Resolva o exercício 8 utilizando o exercício 7.
Passo 1
Bom, não tem como avançar sem retomar os exercícios anteriores, então vamos lá.
No exercício 7 tínhamos o seguinte sistema:
E no exercício mostramos que:
È uma condição necessária para que a solução geral do sistema tenha trajetória elíptica.
Passo 2
Certo, agora no exercício 8 tivemos que retomar um assunto de vidas anteriores, ele pedia pra gente calcular uma integral de linha de forma direta e posteriormente aplicando o teorema de Green.
Na ocasião, usando o método de integração direta, chegamos na seguinte solução:
Pois, lembre-se de que simplesmente definimos o campo vetorial em termos da curva
E não se esquecendo de que mostramos a ortogonalidade de e ; que resulta num produto escalar nulo, zerando a integral.
Na segunda parte do exercício 8, calculamos a integral aplicando o Teorema de Green, e chegamos a seguinte conclusão:
Pois,
Passo 3
Certo, agora como a gente pode relacionar esses dois exercícios?!
Talvez uma possibilidade seja considerar o seguinte:
Com,
Repare que é exatamente o sistema do exercício 7.
Então, vamos tentar encontrar o divergente de :
Ou seja,
Onde,
Então,
Lembre-se de que no exercício 8 queriamos mostrar que utilizando os dois métodos de resolver a integral de linha (de forma direta ou utilizando Green) iríamos obter a mesma resposta; mas isso não aconteceu pois tínhamos:
Ou seja, se tivermos:
Seria possível existir uma curva , e de acordo com o exercício 7, existe uma chance de essa curva ser uma elipse.
Resposta
Então, evidentemente para qualquer não existirá uma curva de classe , fechada e simples.
Agora, caso essa curva existe, e pode ser uma elipse.