Suponha que f x admita derivadas de todas as ordens no intervalo I e que 0 ∈ I . Suponha ainda, que existe M > 0 tal que, para todo x ∈ I e todo natural n ≥ 1 , f n x ≤ M .

Nestas condições, prove que, para todo x ∈ I ,

f x = f 0 + ∑ n = 1 + ∞ f n 0 n ! x n .

Passo 1

Primeiro, vamos nos aproveitar da sugestão dada pelo livro e tentar se lembrar da fórmula de Taylor com resto em Lagrange, ela é da seguinte forma:

f x - x 0 = ∑ k = 0 n f k x 0 k ! x - x 0 k + f n + 1 x 0 n + 1 ! x - x 0 n + 1 .

Passo 2

Partindo da fórmula de Taylor, tomando x 0 = 0 :

f x = ∑ k = 0 n f k 0 k ! x k + f n + 1   0 n + 1 ! x n + 1

Na verdade, quando temos uma série de Taylor para x 0 = 0 chamamos de sèrie de Mclaurin.

Agora se retirarmos o primeiro termo do somatório:

f x = f 0 ⏟ k = 0 + ∑ k = 1 n f k 0 k ! x k + f n + 1   0 n + 1 ! x n + 1

Passo 3

Podemos reescrever os últimos dois termos da seguinte forma:

∑ k = 1 n f k 0 k ! x k + f n + 1   x 0 n + 1 ! x n + 1 = ∑ k = 1 n + 1 f k 0 k ! x k

E sabendo que o seguinte limite existe:

lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n + 1 f k 0 k ! x k

Pois uma série de potencia sempre converge em x 0 .

Ou seja, vamos obter:

f x = f 0 + ∑ n = 1 ∞ f n 0 n ! x n

Resposta

Concluimos então que,

f x = f 0 + ∑ n = 1 ∞ f n 0 n ! x n

Ver Outros Exercícios desse livro