Suponha que admita derivadas de todas as ordens no intervalo e que . Suponha ainda, que existe tal que, para todo e todo natural ,
Nestas condições, prove que, para todo
Passo 1
Primeiro, vamos nos aproveitar da sugestão dada pelo livro e tentar se lembrar da fórmula de Taylor com resto em Lagrange, ela é da seguinte forma:
Passo 2
Partindo da fórmula de Taylor, tomando :
Na verdade, quando temos uma série de Taylor para chamamos de sèrie de Mclaurin.
Agora se retirarmos o primeiro termo do somatório:
Passo 3
Podemos reescrever os últimos dois termos da seguinte forma:
E sabendo que o seguinte limite existe:
Pois uma série de potencia sempre converge em .
Ou seja, vamos obter:
Resposta
Concluimos então que,