Resolva pelo processo que achar mais conveniente. (Aproveite e dê uma olhada no Cap. 15 deste volume. Poderá ajudar.)

j )   y ' + x y = x y 3

Passo 1

Rearranjando a equação:

y ' = - x y + x y 3

Trata-se de uma Equação de Bernoulli, sendo:

f x = - x ,   g x = x   e   α = 3

Passo 2

Resolvendo a equação de Bernoulli.

Primeiramente, vamos multiplicar os termos da equação por y - 3 :

y - 3 y ' = - x y - 2 + x

Fazendo:

u = y - 2

Temos:

d u d x = - 2 y - 3 y '

Substituindo:

d u d x = 2 x u - 2 x

Utilizando a equação:

u = e ∫ f x d x k + ∫ g x ⋅ e - ∫ f x d x d x

Temos:

u = e ∫ 2 x   d x k - ∫ 2 x ⋅ e - ∫ 2 x d x d x

Passo 3

Integrando os exponenciais:

u = e x 2 k - ∫ 2 x ⋅ e - x 2 d x

Integrando o termo interno:

u = e x 2 k + e - x 2

u = k e x 2 + 1

Voltando u = y - 2 , temos a solução:

y - 2 = k e x 2 + 1

y = 1 k e x 2 + 1

Sendo y = 0 também solução para o problema.

Resposta

y = 1 k e x 2 + 1

y = 0

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