1. Resolva

A)

{[[overset(˙)(x) = - 2 x + y + z],[overset(˙)(y) = x - 2 y + z],[overset(˙)(z) = x + y - 2 z]])

Passo 1

Bem, queremos aqui resolver um sistema 3x3. Basicamente a forma de resolução é a mesma dos sistemas 2x2, porém com um cálculo mais chatinho! Mas não se preocupe que vamos destrinchar juntos esses cálculos! Bora?

Primeira coisa é montar a matriz dos coeficientes A baseado no sistema:

A = [[[-,2,1,1],[1,-,2,1],[1,1,-,2]]]

Agora devemos buscar os autovalores dela!

Passo 2

AUTOVALORES:

Os autovalores lambda de uma matriz são do tipo:

det (A - lambda I) = 0

Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair lambda na diagonal principal da matriz A , veja:

det ([[-,2,-,lambda,1,1],[1,-,2,-,lambda,1],[1,1,-,2,-,lambda]]) = 0

O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?

([[-,2,-,lambda,1,1],[1,-,2,-,lambda,1],[1,1,-,2,-,lambda]]) [[-,2,-,lambda,1,],[1,-,2,-,lambda,],[1,1,]] = 0 ->

(- 2 - lambda) (- 2 - lambda) (- 2 - lambda) + (1) (1) (1) + (1) (1) (1) - (1) (1) (- 2 - lambda) - (- 2 - lambda) (1) (1) - (1) (- 2 - lambda) (1) = 0 ->

Simplificando isso aí...

(- 2 - lambda)^3 + 1 + 1 - (- 2 - lambda) - (- 2 - lambda) - (- 2 - lambda) = 0 ->

(- 2 - lambda)^3 + 2 - 3 (- 2 - lambda) = 0 ->

(- 1)^3 (2 + lambda)^3 + 3 lambda + 8 = 0 ->

(- 1)^3 (2^3 + 3 * 2^2 lambda + 3 * 2 lambda^2 + lambda^3) + 3 lambda + 8 = 0 ->

- (8 + 12 lambda + 6 lambda^2 + lambda^3) + 3 lambda + 8 = 0 ->

- 8 - 12 lambda - 6 lambda^2 - lambda^3 + 3 lambda + 8 = 0 ->

- lambda^3 - 6 lambda^2 - 9 lambda = 0 ->

(- lambda) (lambda^2 + 6 lambda + 9) = 0 ->

(- lambda) (lambda + 3) (lambda + 3) = 0

Então, se a solução dessa equação é um desses 3 valores aqui:

lambda_1 = 0 , lambda_2 = - 3 e lambda_3 = - 3

O conjunto de soluções fundamentais x^((k)) para cada um deles vão ser:

  • Para o lambda_1 que é real e único...
  • x^((1)) = v_1 e^(lambda_1 t)

  • Para lambda_2 que é real e o primeiro do seu valor a ser analisado...
  • x^((2)) = v_2 e^(lambda_2 t)

  • Para o lambda_3 que é real e o segundo do seu valor que está sendo analisado:

x^((3)) = v_2 t e^(lambda_3 t) + v_3 e^(lambda_3 t)

Onde v_1 , v_2 e v_3 são os autovetores. Os dois autovetores da matriz se obtém de forma normal:

(A - lambda_1 I) v_1 = 0

(A - lambda_2 I) v_2 = 0

Como lambda_2 = lambda_3 = - 3 o autovetor v_3 é um pouco diferente:

(A - lambda_3 I) v_3 = v_2

Partiu calcular esses autovetores agora?

Passo 3

AUTOVETOR 1:

(A - lambda_1 I) v_1 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Onde a , b e c são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

(A - lambda_1 I) ([[a],[b],[c]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[-,2,-,lambda_1,1,1],[1,-,2,-,lambda_1,1],[1,1,-,2,-,lambda_1]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Como lambda_1 = 0 ...

([[-,2,1,1],[1,-,2,1],[1,1,-,2]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[- 2 a + b + c = 0],[a - 2 b + c = 0],[a + b - 2 c = 0]])

Das duas primeiras equações, multiplicando a equação de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...

- 3 b + 3 c = 0 ->

b = c

Jogando esse resultado na terceira equação...

a - c = 0 ->

a = c

Se escolhermos c = 1 , então a = 1 e b = 1 também. Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:

v_1 = ([[1],[1],[1]])

Passo 4

AUTOVETOR 2:

(A - lambda_2 I) v_2 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Novamente teremos...

(A - lambda_2 I) ([[a],[b],[c]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[-,2,-,lambda_2,1,1],[1,-,2,-,lambda_2,1],[1,1,-,2,-,lambda_2]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Como lambda_2 = - 3 ...

([[-,5,1,1],[1,-,5,1],[1,1,-,5]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[- 5 a + b + c = 0],[a - 5 b + c = 0],[a + b - 5 c = 0]])

Das duas primeiras equações, multiplicando a equação de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...

- 24 b + 6 c = 0 ->

b = (1)/(4) c

Jogando esse resultado na terceira equação...

a - (19)/(4) c = 0 ->

a = (19)/(4) c

Se escolhermos c = 4 , então a = 1 9 e b = 1 . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:

v_2 = ([[19],[1],[4]])

Passo 5

AUTOVETOR 3:

(A - lambda_3 I) v_3 = v_2

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Novamente teremos...

(A - lambda_3 I) ([[a],[b],[c]]) = ([[19],[1],[4]])

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[-,2,-,lambda_3,1,1],[1,-,2,-,lambda_3,1],[1,1,-,2,-,lambda_3]]) ([[a],[b],[c]]) = ([[19],[1],[4]])

Como lambda_3 = - 3 ...

([[-,5,1,1],[1,-,5,1],[1,1,-,5]]) ([[a],[b],[c]]) = ([[19],[1],[4]])

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[- 5 a + b + c = 19],[a - 5 b + c = 1],[a + b - 5 c = 4]])

Das duas primeiras equações, multiplicando a equação de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...

- 24 b + 6 c = 24 ->

b = (1)/(4) c - 1

Jogando esse resultado na terceira equação...

a - (19)/(4) c - 1 = 0 ->

a = (19)/(4) c + 1

Se escolhermos c = 4 , então a = 20 e b = 0 . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:

v_1 = ([[20],[0],[4]])

Passo 6

Logo, as três soluções fundamentais serão:

x^((1)) = v_1 e^(lambda_1 t)

x^((2)) = v_2 e^(lambda_2 t)

x^((3)) = v_2 t e^(- lambda_3 t) + v_3 e^(lambda_3 t)

Substituindo...

x^((1)) = ([[1],[1],[1]]) e^0

x^((2)) = ([[19],[1],[4]]) e^(- 3 t)

x^((3)) = ([[19],[1],[4]]) t e^(- 3 t) + ([[20],[0],[4]]) e^(- 3 t)

A solução final é então dada pela expressão:

([[x],[y],[z]]) = c_1 x^((1)) + c_2 x^((2)) + c_3 x^((3)) ->

([[x],[y],[z]]) = c_1 ([[1],[1],[1]]) e^0 + c_2 ([[19],[1],[4]]) e^(- 3 t) + c_3 [([[19],[1],[4]]) t e^(- 3 t) + ([[20],[0],[4]]) e^(- 3 t)] ->

([[x],[y],[z]]) = c_1 ([[1],[1],[1]]) + c_2 ([[19],[1],[4]]) e^(- 3 t) + c_3 ([[19],[1],[4]]) t e^(- 3 t) + c_3 ([[20],[0],[4]]) e^(- 3 t)

Resposta

([[x],[y],[z]]) = c_1 ([[1],[1],[1]]) + c_2 ([[19],[1],[4]]) e^(- 3 t) + c_3 ([[19],[1],[4]]) t e^(- 3 t) + c_3 ([[20],[0],[4]]) e^(- 3 t)

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