18. Suponha que x = x t e y = y t , t ≥ 0 . Seja solução do sistema

x ˙ = - 3 x + y y ˙ = - x - 5 y

Calcule a derivada da função dada por C t = x t 2 + y t 2 , t ≥ 0 . O que se pode concluir a respeito da distância do ponto x t ,   y t à origem? Interprete.

Passo 1

A distância ao quadrado de um ponto no plano x y até a origem é dada pela função que ele nos deu:

C t = x t 2 + y t 2     →

Se a gente derivar essa função em relação à t :

d C t d t = 2 x t ⋅ d x d t + 2 y t ⋅ d y d t   →

Como d x d t ou d y d t é o mesmo que x ˙ e y ˙ ...

x ˙ = - 3 x + y y ˙ = - x - 5 y

d C t d t = 2 x ⋅ - 3 x + y - 2 y ⋅ - x - 5 y   →

d C t d t = - 6 x 2 + 2 x y + 2 x y + 10 y 2   →

d C t d t = - 6 x 2 + 4 x y + 10 y 2  

Passo 2

Poxa! Então veja que precisamos encontrar as funções x t e y t . Podemos fazer isso resolvendo o sistema de equações diferencias. Para isso, aqui está a matriz de coeficientes retirada do nosso sistema:

A = - 3 1 - 1 - 5

E agora encontrar os seus autovalores λ !

det ⁡ A - λ I = 0

Bem, como A - λ I é apenas subtrair λ da diagonal principal...

det ⁡ - 3 - λ 1 - 1 - 5 - λ = 0     →

Resolvendo o determinante...

- 3 - λ - 5 - λ - 1 - 1 = 0     →

+ 15 + 3 λ + 5 λ + λ 2 + 1 = 0

λ 2 + 8 λ + 16 = 0     →

Resolvendo por Báskara...

λ = - 4

A solução de um sistema de EDO com λ real e único:

x y = c 1 T 1 + c 2 T 2

Onde T 1 e T 2 são:

T 1 = v 1 e λ 1 t

T 2 = v 1 t e λ 1 t + v 2 e λ 2 t

Onde λ 1 = λ 2 = λ . v 1 e v 2 são os autovalores determinados a partir de:

A - λ I v 1 = 0

A - λ I v 2 = v 1

Vamos então determinar esse autovetor v → !

Passo 3

Primeiro o autovalor v 1 :

Então para o λ 1 = - 4 teremos v 1 de coordenadas desconhecidas a b :

A - λ 1 I v 1 = 0         →

A - λ 1 I a b = 0         →

Ora, sabemos que A - λ 1 I asta subtrair λ da diagonal:

- 3 - λ 1 - 1 - 5 - λ a b = 0         →

- 3 - - 4 1 - 1 - 5 - - 4 a b = 0       →

1 1 - 1 - 1 a b = 0       →

Essas duas linhas são Linearmente dependentes e sempre serão! Então, basta pegar a primeira linha e multiplicar com a coluna a b e igualar a 0 (produto de matrizes):

a + b = 0   →

b = - a  

Se falarmos que a = 1 , então...

b = - 1  

Então um autovetor v 1 para λ 1 é:

v 1 = 1 - 1

Primeiro o autovalor v 2 :

Então para o λ 2 = - 4 teremos v 2 de coordenadas desconhecidas a b :

A - λ 2 I v 2 = v 1         →

A - λ 2 I a b = 1 - 1         →

Ora, sabemos que A - λ 1 I asta subtrair λ da diagonal:

- 3 - λ 1 - 1 - 5 - λ a b = 1 - 1         →

- 3 - - 4 1 - 1 - 5 - - 4 a b = 1 - 1       →

1 1 - 1 - 1 a b = 1 - 1       →

Essas duas linhas são Linearmente dependentes e sempre serão! Então, basta pegar a primeira linha e multiplicar com a coluna a b e igualar a 1 (produto de matrizes):

a + b = 1   →

b = 1 - a  

Se falarmos que a = 1 , então...

b = 0  

Então um autovetor v 2 para λ 2 é:

v 2 = 1 0

Passo 4

x y = c 1 T 1 + c 2 T 2

Onde T 1 e T 2 são:

T 1 = 1 - 1 e - 4 t

T 2 = 1 - 1 t e - 4 t + 1 0 e - 4 t

Então...

x y = c 1 1 - 1 e - 4 t + c 2 1 - 1 t e - 4 t + c 2 1 0 e - 4 t

x = c 1 e - 4 t + c 2 t e - 4 t + c 2 e - 4 t y = - c 1 e - 4 t - c 2 t e - 4 t

Então a derivada...

d C t d t = 2 x t ⋅ d x d t + 2 y t ⋅ d y d t   →

d C t d t = 2 c 1 e - 4 t + c 2 t e - 4 t + c 2 e - 4 t ⋅ d d t c 1 e - 4 t + c 2 t e - 4 t + c 2 e - 4 t + 2 - c 1 e - 4 t - c 2 t e - 4 t ⋅ d d t - c 1 e - 4 t - c 2 t e - 4 t   →

d C t d t = 2 c 1 e - 4 t + c 2 t e - 4 t + c 2 e - 4 t - 4 c 1 e - 4 t - 4 c 2 t e - 4 t + c 2 e - 4 t - 4 c 2 e - 4 t + 2 - c 1 e - 4 t - c 2 t e - 4 t ⋅ 4 c 1 e - 4 t + 4 c 2 t e - 4 t - c 2 e - 4 t   →

d C t d t = 2 e - 4 t ⋅ e - 4 t c 1 + c 2 t + c 2 - 4 c 1 - 4 c 2 t + c 2 - 4 c 2 + 2 e - 4 t e - 4 t - c 1 - c 2 t ⋅ 4 c 1 + 4 c 2 t - c 2   →

d C t d t = 2 e - 8 t c 1 + c 2 t + c 2 - 4 c 1 - 4 c 2 t - 3 c 2 + 2 e - 8 t - c 1 - c 2 t ⋅ 4 c 1 + 4 c 2 t - c 2   →

Vamos colocar a exponencial em evidência....

d C t d t = 2 e - 8 t c 1 + c 2 t + c 2 - 4 c 1 - 4 c 2 t - 3 c 2 + - c 1 - c 2 t 4 c 1 + 4 c 2 t - c 2  

d C t d t = 2 e - 8 t c 1 + c 2 t - 4 c 1 - 4 c 2 t + c 2 - 4 c 2 c 1 + c 2 t + c 2 - 4 c 1 - 4 c 2 t - 3 c 2 + - c 1 - c 2 t 4 c 1 + 4 c 2 t - c 2   →

Cortando esses termos então...

d C t d t = 2 e - 8 t - 4 c 2 c 1 + c 2 t + c 2 - 4 c 1 - 4 c 2 t - 3 c 2 →

d C t d t = 2 e - 8 t - 4 c 2 c 1 - 4 c 2 2 t - 4 c 1 c 2 - 4 c 2 2 t - 3 c 2 2

d C t d t = - 2 e - 8 t 8 c 2 c 1 + 8 c 2 2 t + 3 c 2 2

Passo 5

Beleza! Então vamos filosofar um pouco sobre esse resultado!

d C t d t = - 2 8 c 2 c 1 + 8 c 2 2 t + 3 c 2 2 e - 8 t

Como t > 0 , o termo dos parênteses vai ser positivo para certo t .O que significa que a derivada vai ser negativa. Podemos concluir então que a função distância decresce com o passar do tempo t !

Resposta

d C t d t = - 4 c 1 c 2 + 4 c 2 2 t e 8 t  

A função distância decresce com o passar do tempo, logo estaremos nos aproximando da origem.

Ver Outros Exercícios desse livro