1. Resolva
G)
Passo 1
Bem, queremos aqui resolver um sistema 3x3. Basicamente a forma de resolução é a mesma dos sistemas 2x2, porém com um cálculo mais chatinho! Mas não se preocupe que vamos destrinchar juntos esses cálculos! Bora?
Primeira coisa é montar a matriz dos coeficientes baseado no sistema:
Agora devemos buscar os autovalores dela!
Passo 2
AUTOVALORES:
Os autovalores de uma matriz são do tipo:
Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair na diagonal principal da matriz , veja:
O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?
Simplificando isso aí...
Para isso ser , ou:
Ou
Da primeira, tiramos que . Dá segunda... Usando soma e produto:
O conjunto de soluções fundamentais para cada um deles vão ser:
- Para o que é real e único...
- Para que é real e único...
- Para o que é real e único também:
Onde , e são os autovetores. Os três autovetores da matriz, como os são todos diferentes, se obtém de forma normal que conhecemos:
Partiu calcular esses autovetores agora?
Passo 3
AUTOVETOR 1:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Onde , e são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de :
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Das duas ultimas equações, pegando a de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...
E então...
Se escolhermos , já que não nenhuma restrição sobre (apenas a restrição de que ele não pode ser )...
Passo 4
AUTOVETOR 2:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Novamente teremos...
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Das duas últimas equações...
E da primeira...
Se escolhermos , . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:
Passo 5
AUTOVETOR 3:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Novamente teremos...
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Das duas últimas equações...
Se escolhermos , então . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:
Passo 6
Logo, as três soluções fundamentais serão:
Substituindo...
A solução final é então dada pela expressão: