1. Resolva

G)

{[[overset(˙)(x) = 5 x],[overset(˙)(y) = z],[overset(˙)(z) = - 3 y + 4 z]])

Passo 1

Bem, queremos aqui resolver um sistema 3x3. Basicamente a forma de resolução é a mesma dos sistemas 2x2, porém com um cálculo mais chatinho! Mas não se preocupe que vamos destrinchar juntos esses cálculos! Bora?

Primeira coisa é montar a matriz dos coeficientes A baseado no sistema:

A = [[[5,0,0],[0,0,1],[0,-,3,4]]]

Agora devemos buscar os autovalores dela!

Passo 2

AUTOVALORES:

Os autovalores lambda de uma matriz são do tipo:

det (A - lambda I) = 0

Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair lambda na diagonal principal da matriz A , veja:

det ([[5,-,lambda,0,0],[0,0,-,lambda,1],[0,-,3,4,-,lambda]]) = 0

O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?

([[5,-,lambda,0,0],[0,-,lambda,1],[0,-,3,4,-,lambda]]) [[5,-,lambda,0,],[0,-,lambda,],[0,-,3,]] = 0 ->

- lambda (5 - lambda) (4 - lambda) + 3 (5 - lambda) = 0

Simplificando isso aí...

- lambda (5 - lambda) (4 - lambda) + 3 (5 - lambda) = 0 ->

(5 - lambda) [- lambda (4 - lambda) + 3] = 0 ->

(5 - lambda) [lambda^2 - 4 lambda + 3] = 0

Para isso ser 0 , ou:

(5 - lambda) = 0

Ou

lambda^2 - 4 lambda + 3 = 0

Da primeira, tiramos que lambda_1 = 5 . Dá segunda... Usando soma e produto:

lambda_2 = 1 e lambda_3 = 3

O conjunto de soluções fundamentais x^((k)) para cada um deles vão ser:

  • Para o lambda_1 que é real e único...
  • x^((1)) = v_1 e^(lambda_1 t)

  • Para lambda_2 que é real e único...
  • x^((2)) = v_2 e^(lambda_2 t)

  • Para o lambda_3 que é real e único também:

x^((3)) = v_3 e^(lambda_3 t)

Onde v_1 , v_2 e v_3 são os autovetores. Os três autovetores da matriz, como os lambda são todos diferentes, se obtém de forma normal que conhecemos:

(A - lambda_1 I) v_1 = 0

(A - lambda_2 I) v_2 = 0

(A - lambda_3 I) v_3 = 0

Partiu calcular esses autovetores agora?

Passo 3

AUTOVETOR 1:

(A - lambda_1 I) v_1 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Onde a , b e c são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

(A - lambda_1 I) ([[a],[b],[c]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[5,-,lambda_1,0,0],[0,-,lambda_1,1],[0,-,3,4,-,lambda_1]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Como lambda_1 = 5 ...

([[0,0,0],[0,-,5,1],[0,-,3,-,1]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[0 = 0],[- 5 b + c = 0],[- 3 b - c = 0]])

Das duas ultimas equações, pegando a de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...

- 8 b = 0 ->

b = 0

E então...

- 5 b + c = 0 -> c = 0

Se escolhermos a = 1 , já que não nenhuma restrição sobre a (apenas a restrição de que ele não pode ser 0 )...

v_1 = ([[1],[0],[0]])

Passo 4

AUTOVETOR 2:

(A - lambda_2 I) v_2 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Novamente teremos...

(A - lambda_2 I) ([[a],[b],[c]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[5,-,lambda_2,0,0],[0,-,lambda_2,1],[0,-,3,4,-,lambda_2]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Como lambda_2 = 1 ...

([[4,0,0],[0,-,1,1],[0,-,3,3]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[4 a = 0],[- b + c = 0],[- 3 b + 3 c = 0]])

Das duas últimas equações...

b = c

E da primeira...

a = 0

Se escolhermos b = 1 , c = 1 . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:

v_2 = ([[0],[1],[1]])

Passo 5

AUTOVETOR 3:

(A - lambda_3 I) v_3 = v_2

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Novamente teremos...

(A - lambda_3 I) ([[a],[b],[c]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[5,-,lambda_3,0,0],[0,-,lambda_3,1],[0,-,3,4,-,lambda_3]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Como lambda_3 = 3 ...

([[2,0,0],[0,-,3,1],[0,-,3,1]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[2 a = 0],[- 3 b + c = 0],[- 3 b + c = 0]])

Das duas últimas equações...

c = 3 b

Se escolhermos b = 1 , então c = 3 . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:

v_3 = ([[0],[1],[3]])

Passo 6

Logo, as três soluções fundamentais serão:

x^((1)) = v_1 e^(lambda_1 t)

x^((2)) = v_2 e^(lambda_2 t)

x^((3)) = v_3 e^(lambda_3 t)

Substituindo...

x^((1)) = ([[1],[0],[0]]) e^(5 t)

x^((2)) = ([[0],[1],[1]]) e^t

x^((3)) = ([[0],[1],[3]]) e^(3 t)

A solução final é então dada pela expressão:

([[x],[y],[z]]) = c_1 x^((1)) + c_2 x^((2)) + c_3 x^((3)) ->

([[x],[y],[z]]) = c_1 ([[1],[0],[0]]) e^(5 t) + c_2 ([[0],[1],[1]]) e^t + c_3 ([[0],[1],[3]]) e^(3 t)

Resposta

([[x],[y],[z]]) = c_1 ([[1],[0],[0]]) e^(5 t) + c_2 ([[0],[1],[1]]) e^t + c_3 ([[0],[1],[3]]) e^(3 t)

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