Sabe-se que a equação:

y "   - y ' - x y = 0

Admite uma solução y = y x ,   x   ϵ   R , satisfazendo as condições iniciais y ( 0 ) = 1   e   y ' ( 0 ) = 0 . Sabe-se, ainda, que tal solução é desenvolvida em série de potência, em volta da origem, com raio de convergência + ∞ , isto é, para todo x .

y x = 1 + ∑ n = 1 + ∞ y n 0 n ! x n

Prove:

  1. y n 0 = y n - 1 0 + n - 2 y n - 3 0 ,   n ≥ 4 .

Passo 1

Animados para começar mais umaa!!

Então siimbora galerinha!!

Sabemos que:

y x = 1 + ∑ n = 1 + ∞ y n 0 n ! x n

Sendo assim, as derivadas ficam fáceis:

y ' x = ∑ n = 1 + ∞ n y n 0 n ! x n - 1

y " x = ∑ n = 2 + ∞ n ( n - 1 ) y n 0 n ! x n - 2

Na fórmula:

∑ n = 2 + ∞ n ( n - 1 ) y n 0 n ! x n - 2   - ∑ n = 1 + ∞ n y n 0 n ! x n - 1 - x 1 + ∑ n = 1 + ∞ y n 0 n ! x n = 0

∑ n = 2 + ∞ n ( n - 1 ) y n 0 n ! x n - 2   - ∑ n = 1 + ∞ n y n 0 n ! x n - 1 - x + ∑ n = 1 + ∞ y n 0 n ! x n + 1 = 0

∑ n = 2 + ∞ n ( n - 1 ) y n 0 n ! x n - 2   - ∑ n = 1 + ∞ n y n 0 n ! x n - 1 - x + ∑ n = 4 + ∞ y n - 3 0 ( n - 3 ) ! x n - 2 = 0

y " 0 + y ' ' ' 0 x + ∑ n = 4 + ∞ n ( n - 1 ) y n 0 n ! x n - 2   - y ' 0 + y " 0 x + ∑ n = 3 + ∞ n y n 0 n ! x n - 1   - x + ∑ n = 4 + ∞ y n - 3 0 ( n - 3 ) ! x n - 2 = 0

Só precisamos modificar o segundo somatório, que ainda é o diferentão:

y " 0 + y ' ' ' 0 x + ∑ n = 4 + ∞ n ( n - 1 ) y n 0 n !   - y ' 0 + y " 0 x + ∑ n = 4 + ∞ ( n - 1 ) y n - 1 0 ( n - 1 ) ! x n - 2   - x + ∑ n = 4 + ∞ y n - 3 0 ( n - 3 ) ! x n - 2 = 0

Agora é só colocar tudo separado:

y " 0 - y ' 0 + y ' ' ' ( 0 ) - y " 0 - 1 x + ∑ n = 4 + ∞ n ( n - 1 ) y n 0 n ! - n - 1 y n - 1 0 n - 1 ! - y n - 3 0 ( n - 3 ) ! x n - 2 = 0

Podemos tirar três conclusões:

y " ( 0 ) - y ' ( 0 ) = 0 →   y " ( 0 ) = y ' ( 0 ) = 0

y ' ' ' ( 0 ) - y " ( 0 ) - 1 = 0 →   y ' ' ' ( 0 ) = 1 + y ' ( 0 ) = 1

n ( n - 1 ) y n 0 n ! - n - 1 y n - 1 0 n - 1 ! - y n - 3 0 ( n - 3 ) ! = 0

Vamos modificar um pouco esta última equação:

y n 0 ( n - 2 ) ! = y n - 1 0 n - 2 ! + y n - 3 0 ( n - 3 ) !

Tirando o MMC:

y n 0 = y n - 1 0 + n - 2 y n - 3 0

Ufaaa!! Pesado não foi, mas se olharem com os olhos de quem quer ver vocês vão ver como é tranquilo !!

Ou quase kkkkk

Resposta

y n 0 = y n - 1 0 + n - 2 y n - 3 0

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