Seja p um natural. Mostre que, para |x| < 1 , tem-se:

b) |ln (1 + x)/(1 - x) - 2 sum_(n = 0)^(p - 1) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (2)/(2 p + 1) . (|x|^(2 p + 1))/(1 - x ²)

Passo 1

Boom turminha, vamos seguindo !!

Pelo exercício 1 nós comprovamos que, para |x| < 1 :

ln (1 + x)/(1 - x) = 2 sum_(n = 0)^(+ oo) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)

Então:

|ln (1 + x)/(1 - x) - 2 sum_(n = 0)^(p - 1) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| = |2 sum_(n = 0)^(+ oo) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1) - 2 sum_(n = 0)^(p - 1) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)|

Guardem por enquanto esta afirmação !!

Da letra (a) nós comprovamos que:

|sum_(n = p)^(+ oo) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (1)/(2 p + 1) (|x|^(2 p + 1))/(1 - x ²)

Sendo assim:

|2 sum_(n = 0)^(+ oo) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= 2 xx (1)/(2 p + 1) (|x|^(2 p + 1))/(1 - x ²)

|2 sum_(n = 0)^(+ oo) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (2)/(2 p + 1) (|x|^(2 p + 1))/(1 - x ²)

Muito bem!! Então este somatório é menor do que o termo (2)/(2 p + 1) (|x|^(2 p + 1))/(1 - x ²) , certo?

Se este somatório sozinho já é menor do que este termo, quando subtraímos dele um segundo somatório a afirmativa continua sendo verdadeira, concordam?

Então:

|2 sum_(n = 0)^(+ oo) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1) - 2 sum_(n = 0)^(p - 1) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (2)/(2 p + 1) (|x|^(2 p + 1))/(1 - x ²)

Ou melhor:

|ln (1 + x)/(1 - x) - 2 sum_(n = 0)^(p - 1) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (2)/(2 p + 1) (|x|^(2 p + 1))/(1 - x ²)

Legal ou não ?! :P

Resposta

|ln (1 + x)/(1 - x) - 2 sum_(n = 0)^(p - 1) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (2)/(2 p + 1) (|x|^(2 p + 1))/(1 - x ²)

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