Seja v → x , y = P x , y i → + Q x , y j → de classe C 1 em R 2 tal que, para todo x , y em R 2 , d i v   v → x , y > 0 .

Prove que NÂO existe curva γ : a , b → R 2 de classe C 1 , simples, fechada e orientada no sentido anti-horário (ou horário) cuja imagem seja a fronteira de um compacto K , com interior não vazio, tal que,

para todo t ∈ a , b ,       γ ' t = v → γ t .

Passo 1

Primeiro de tudo, note que nítidamente esse exercício está no livro errado.

Mas não temos escapatória, então vamos ter que revisar algumas coisas referentes à integrais de linha e Teorema de Green.

O livro sugere que tentemos calular a integral de forma direta e depois usando o Teorema de Green, como esses resultados vão ser diferentes, poderemos concluir que essa curva não pode existir.

Passo 2

Vamos começar calculando a integral de linha de forma direta:

Primeiro lembre-se de que uma integral de linha é bem parecida com a integral unidimensional que já estamos cansados de ver, com a diferença de que os limites da integral de linha são na verdade os limites de uma curva.

Teremos então a seguinte integral sugerida pelo livro:

∫ γ Q d x - P d y = Q x , y i → - P x , y j →

Sabemos, pelo enunciado, que a curva γ é definida por γ t ,   c o m   t ∈ a , b → R 2 .

Isso significa que, podemos abrir essa integral de acordo com a definição de integral de linha, portanto:

∫ γ Q d x - P d y = ∫ a b Q γ t - P γ t   .   γ ' t d t  

Repare que somente definimos o campo vetorial Q d x - P d y em termos da curva γ .

O enunciado nos diz que:

γ ' t = v → γ t

Portanto,

∫ γ Q d x - P d y = ∫ a b Q γ t i → - P γ t j →   .   v → γ t   d t  

Do enunciado sabemos que:

v → x , y = P x , y i → + Q x , y j →  

Ou seja,

v → γ t = P γ t i → + Q γ t j →

Nesse momento vamos precisar usar o conceito de produto escalar, então:

v → γ t   .   Q γ t i → - P γ t j →    

Lembre-se de que "   .   " é como simbolizamos a operação do produto escalar.

OBS: caso não se recorde, suponha que tenhamos dois vetores: u → = A   i → + B   j →     e     g → = C   i → + D   j → , o produto escalar entre eles será assim:

u →   .   g → = A   i → + B   j →   .   C   i → + D   j → = A C ⏟ i → + B D ⏟ j →

Retomando à questão. Tomando produto escalar:

P γ t i → + Q γ t j →   ⏟ v → γ t .   Q γ t i → - P γ t j →

Vamos ter o seguinte:

P γ t Q γ t ⏟ i → - Q γ t P γ t ⏟ j → = 0

Quando o Produto escalar de dois vetores é zero, isso significa que eles são perpendiculares entre si.

Retomando nossa integral de linha:

∫ a b Q γ t i → - P γ t j →   .   v → γ t   d t   = 0

Passo 3

Agora, para o caso de assim como eu você não se recordar do que raios é o Teorema de Green, vamos mostrar a baixo:

“Sejam M   e   N   funções em R 2 e seja C uma curva fechada, simples, contida em R 2 e cuja fronteira seja a região R . Teremos então:

∮ M x , y d x + N x , y d y = ∬ R ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x   d y .”

Então no nosso caso, teremos a seguinte integral dupla:

∫ γ Q d x - P d y = ∬ K - ∂ P ∂ x - ∂ Q ∂ y d x   d y

Beleza, agora o enunciado nos diz o seguinte:

d i v   v → x , y > 0

Se você se lembrar, o divergente de um vetor é dado por:

d i v     v → = d i v   P x , y i → + Q x , y j →

Ou seja,

d i v   v → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y

Percebeu??

Então na integral:

∬ K - ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y d x   d y

Se

∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y > 0

Logo,

∬ K - ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y d x   d y < 0

Resposta

O teorema de Green é na verdade uma outra forma de calcular/ representar uma integral de linha, então era de se esperar que ambos os resultados fossem iguais, mas não foi o que aconteceu.

Portanto hà algo de errado com essa curva, vamos chamar esse erro de “não existe a curva γ ”.

Ver Outros Exercícios desse livro