Seja de classe em tal que, para todo em ,
Prove que NÂO existe curva de classe , simples, fechada e orientada no sentido anti-horário (ou horário) cuja imagem seja a fronteira de um compacto , com interior não vazio, tal que,
para todo .
Passo 1
Primeiro de tudo, note que nítidamente esse exercício está no livro errado.
Mas não temos escapatória, então vamos ter que revisar algumas coisas referentes à integrais de linha e Teorema de Green.
O livro sugere que tentemos calular a integral de forma direta e depois usando o Teorema de Green, como esses resultados vão ser diferentes, poderemos concluir que essa curva não pode existir.
Passo 2
Vamos começar calculando a integral de linha de forma direta:
Primeiro lembre-se de que uma integral de linha é bem parecida com a integral unidimensional que já estamos cansados de ver, com a diferença de que os limites da integral de linha são na verdade os limites de uma curva.
Teremos então a seguinte integral sugerida pelo livro:
Sabemos, pelo enunciado, que a curva é definida por .
Isso significa que, podemos abrir essa integral de acordo com a definição de integral de linha, portanto:
Repare que somente definimos o campo vetorial em termos da curva
O enunciado nos diz que:
Portanto,
Do enunciado sabemos que:
Ou seja,
Nesse momento vamos precisar usar o conceito de produto escalar, então:
Lembre-se de que é como simbolizamos a operação do produto escalar.
OBS: caso não se recorde, suponha que tenhamos dois vetores: , o produto escalar entre eles será assim:
Retomando à questão. Tomando produto escalar:
Vamos ter o seguinte:
Quando o Produto escalar de dois vetores é zero, isso significa que eles são perpendiculares entre si.
Retomando nossa integral de linha:
Passo 3
Agora, para o caso de assim como eu você não se recordar do que raios é o Teorema de Green, vamos mostrar a baixo:
“Sejam funções em e seja uma curva fechada, simples, contida em e cuja fronteira seja a região . Teremos então:
.”
Então no nosso caso, teremos a seguinte integral dupla:
Beleza, agora o enunciado nos diz o seguinte:
Se você se lembrar, o divergente de um vetor é dado por:
Ou seja,
Percebeu??
Então na integral:
Se
Logo,
Resposta
O teorema de Green é na verdade uma outra forma de calcular/ representar uma integral de linha, então era de se esperar que ambos os resultados fossem iguais, mas não foi o que aconteceu.
Portanto hà algo de errado com essa curva, vamos chamar esse erro de “não existe a curva ”.