Seja - 1 < α < 0 um dado real.

(c) Mostre que a série alternada

∑ n = 1 + ∞ α α - 1 α - 2 … α - n + 1 n !  

É convergente.

Passo 1

O livro da uma dica bem prestativa, ele diz que para todo n ≥ 1 temos o seguinte:

α α - 1 α - 2 … α - n + 1 n ! = - 1 n α α - 1 α - 2 … α - n + 1 n ! ⏟ a n

Repare que isso é verdade pois, como - 1 < α < 0 , teremos uma alternância entre positivo e

negativo, tente vizualizar:

n = 1 :       α → n e g a t i v o

n = 2 :     α ⏞ - α - 1 ⏞ - 2 ! → p o s i t i v o

n = 3 :     α ⏞ - α - 1 ⏞ - α - 2 ⏞ - 3 ! → n e g a t i v o

Sacou?!

Então, a sugestão do livro é extremamente válida.

Passo 2

Com isso, teremos a seguinte série alternada:

∑ n = 1 + ∞ - 1 n   a n

Uma série alternada converge se, e somente se, ocorrer simultaneamente:

  1. a n + 1 ≤ a n , isto é, ela deve ser decrescente.
  2. lim n → + ∞ ⁡ a n = 0

Passo 3

Então, vamos verificar isso aí:

  1. Vamos abrir a série e perceberemos o seguinte:
  2. ∑ n = 1 + ∞ - 1 n   a n = α 1 ! + α α - 1 2 ! + α α - 1 α - 2 3 ! + …

    Percebeu que:

    α 1 ! ≥ α α - 1 2 ! ≥ α α - 1 α - 2 3 !

    Então beleza! Ela é mesmo decrescente.

  3. Agora basta testar o limite:

lim n → + ∞ ⁡ α α - 1 α - 2 … α - n + 1 n ! = lim n → + ∞ ⁡ n α n α n - 1 n α n - 2 n … α n - n n + 1 n n n - 1 n - 2 n - 3 … …

Note que, após “cortar” n em evidência no numerador todos os termos serão zero quando n → ∞ restando somente n n = 1 ; ou seja:

lim n → + ∞ ⁡ 1 n - 1 n - 2 n - 3 … … = 1 ∞ = 0

Pois o denominador tenderá ao infinito e então a fração tende a zero.

Portanto, as duas condições são satisfeitas, isso signica que a série realmente converge.

Resposta

A série alternada,

∑ n = 1 + ∞ α α - 1 α - 2 … α - n + 1 n !  

Converge pois é decrescente e lim n → + ∞ ⁡ a n = 0 .

Ver Outros Exercícios desse livro