Seja um dado real.
(c) Mostre que a série alternada
É convergente.
Passo 1
O livro da uma dica bem prestativa, ele diz que para todo temos o seguinte:
Repare que isso é verdade pois, como , teremos uma alternância entre positivo e
negativo, tente vizualizar:
Sacou?!
Então, a sugestão do livro é extremamente válida.
Passo 2
Com isso, teremos a seguinte série alternada:
Uma série alternada converge se, e somente se, ocorrer simultaneamente:
- , isto é, ela deve ser decrescente.
Passo 3
Então, vamos verificar isso aí:
- Vamos abrir a série e perceberemos o seguinte:
- Agora basta testar o limite:
Percebeu que:
Então beleza! Ela é mesmo decrescente.
Note que, após “cortar” em evidência no numerador todos os termos serão zero quando restando somente ; ou seja:
Pois o denominador tenderá ao infinito e então a fração tende a zero.
Portanto, as duas condições são satisfeitas, isso signica que a série realmente converge.
Resposta
A série alternada,
Converge pois é decrescente e .