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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.1 - Ex. 6

Seja E → o campo do exercício anterior e seja γ a curva dada por x = t e   y = 1 - t 4 com - 1 ≤ t ≤ 1 .

  1. Que valor é razoável esperar para ∫ γ E → ⋅ d l → ? Por quê?
  2. Calcule ∫ γ E → ⋅ d l → .

Passo 1

Oi pessoal, vamos resolver esta questão.

A curva γ t é uma parábola com concavidade voltada para baixo e portanto, simétrica ao eixo y .

O campo vetorial pode ser escrito como:

E → x , y = 1 x 2 + y 2 x i → + y j → x 2 + y 2

E → x , y = 1 x 2 + y 2 3 2 x , y

Logo, se imaginarmos E → - x , y , teremos:

E → - x , y = 1 x 2 + y 2 3 2 - x , y

Mostrando assim a relação de simetria com o eixo y .

Isto quer dizer que o trajeto de γ t no intervalo - 1,0 é justamente o contrário do trajeto em 0,1 , portanto, o trabalho realizado em cada intervalo possui mesma magnitude, porém opostos, fazendo com que:

∫ γ E → ⋅ d l → = 0

Vamos calcular para provar.

Passo 2

Temos que

γ t = ( t , 1 - t 4 )

Sabemos que esta integral de linha é calculada por:

∫ γ E → ⋅ d l → = ∫ a b E → γ t ⋅ γ ' t d t = 0

Queremos então, os termos E → γ t e γ ' t . Temos que:

γ t = ( t , 1 - t 4 )

Onde x = t e y = 1 - t 4 .

Portanto:

E → γ t = 1 x 2 + y 2 3 2 t , 1 - t 4

Ou:

E → γ t = t t 2 + 1 3 2 , 1 - t 4 t 2 + 1 3 2

A derivada de γ t vale:

γ ' t = 1 , - 4 t 3

Portanto:

E → γ t ⋅ γ ' t = t t 2 + 1 3 2 , 1 - t 4 t 2 + 1 3 2 ⋅ 1 , - 4 t 3

Resolvendo este produto, temos que:

E → γ t ⋅ γ ' t = t - 4 t 3 1 - t 4 t 2 + 1 - t 4 2 3 2

Note que se tomarmos f t = E → γ t ⋅ γ ' t , teremos que:

f - t = - t + 4 t 3 1 - t 4 t 2 + 1 - t 4 2 3 2 = - t - 4 t 3 1 - t 4 t 2 + 1 - t 4 2 3 2 = - f t

Portanto:

∫ γ E → ⋅ d l → = ∫ - 1 1 E → γ t ⋅ γ ' t d t = 0

Pois temos aqui uma função ímpar sendo integrada sob um intervalo simétrico.

Resposta

∫ γ E → ⋅ d l → = 0

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