Enunciado

Seja F → : R 2 → R 2 um campo vetorial contínuo tal que, para todo x , y , F → ( x , y ) é paralelo ao vetor x   i → + y   j → . Calcule ∫ γ F → ⋅ d r → , onde γ : a , b → R é uma curva de classe C , cuja imagem está contida na circunferência de centro na origem e raio r > 0 . Interprete geometricamente.

Passo 1

Oi galera, vamos analisar esta questão.

Nos foi dito que para cada ponto x , y temos F → x , y = k x , y considerando qualquer constante k ∈ R .

Imagine agora um plano com eixos x - y . Teremos que   F → x , y é um campo vetorial com uma forma em que os vetores possuem diferentes tamanhos e direções e partem da origem do nosso sistema de coordenadas.

Como a imagem de γ t está contida numa circunferência de raio r , teremos que todo vetor γ ' t será ortogonal a F → γ t , fazendo assim com que o produto escalar entre eles seja nulo:

F → γ t ⋅ γ ' t = 0

Portanto:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ a b F → γ t ⋅ γ ' t d t = 0

Resposta

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ a b F → γ t ⋅ γ ' t d t = 0

Ver Outros Exercícios desse livro