4. Seja f dada por f x = lim n → ∞ ⁡ n x e - n x 2

a) Calcule ∫ 0 1 f x d x e lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 1 n x e - n x 2 d x

b) Utilizando o Teorema 2, mostre que a sequência f n , onde f n x = n x e - n x 2 , não converge uniformemente a f em 0,1 .

Passo 1

f x = lim n → ∞ ⁡ n x e - n x 2 = 1 x lim n → ∞ ⁡ 1 e n x 2 = 0

Passo 2

Letra (a)

∫ 0 1 f ( x ) d x = 0

lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 1 n x e - n x 2 d x = lim n → ∞ ⁡ - 1 2 ∫ 0 1 ( - 2 n x ) e - n x 2 d x

= - 1 2 lim n → ∞ ⁡ e - n x 2 0 1 = - 1 2 lim n → ∞ ⁡ [ e - n - 1 ] = 1 / 2

Passo 3

Letra (b)

Seja f : 0,1 → R dada por f x = lim n → ∞ ⁡ n x e - n x 2 = 0 ,

Onde cada f n x = n x e - n x 2 é contínua em 0,1 .

Nestas condições, pelo Teorema 2, se f n convergisse uniformemente a f em 0,1 , então ∫ 0 1 f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 1 f n ( x ) d x .

Como ∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ f n x d x ≠ lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 1 f n ( x ) d x entãom f n não converge uniformemente a f em 0,1 .

Resposta

  1. 0 e ½
  2. Demonstração
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