7. Seja f definida e integrável em - π , π . A série

a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ,

Onde

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x ,

a n = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ n x d x ,   n ≥ 1 ,

E

b n = 1 π ∫ - π π f x sin ⁡ n x d x ,   n ≥ 1

Denomina-se série de Fourrier de f . Os números a n ,   n ≥ 0   e   b n ≥ 1 , são os coeficientes de Fourrier de f . Determine a série de Fourier da função dada e verifique que a série obtida converge uniformemente em R.

  1. f x = x 2 ,   - π ≤ x ≤ π

Passo 1

Sendo f x = x 2 ,   - π ≤ x ≤ π , uma função par, f x s e n   n x será uma função ímpar, daí teremos b n = 0 ,   para n ≥ 1 . Assim, a série de Fourrier da função dada será da forma

a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x

Onde

a 0 = 1 π ∫ - π π x 2 d x = 2 π 2 3   e   a n = 1 π ∫ - π π x 2 cos ⁡ x d x = 4 cos ⁡ n π n 2 = - 1 n 4 n 2 .

Segue que a série de Fourrier de f x = x 2 ,   - π ≤ x ≤ π , é

π 2 3 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n 2 cos ⁡ n x .

Passo 2

De - 1 n 4 n 2 cos ⁡ n x ≤ 4 n 2 , para todo n e para todo x, e pelo critério M de Weierstrass, segue a convergência uniforme, em R, da série de Fourrier. (Lembre-se de que a série ∑ n = 1 ∞ 4 n 2   é   c o n v e r g e n t e . )

Resposta

π 2 3 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n 2 cos ⁡ n x .

Demonstração

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