5. Seja , deriváveis até a ordem no intervalo . Suponha que e sejam continuas em . Prove que se o wronskiano de e for diferente de zero em todo , então existirá uma equação
Com e contínuas em , que admitirá e como soluções. Determine tal equação.
Passo 1
Bem, sabemos que se o wronskiano for diferente de para rodo , então as funções e são linearmente independentes de modo que a gente pode escrever a solução como:
Onde e são diferentes de .
Passo 2
Se é solução, podemos substituir...
Derivando...
E afora colocando em evidência...
Veja que e são diferentes de , então...
Essas duas equações de fato prova que e são soluções diferentes da EDO.