5. Seja f , g : I → R deriváveis até a 2 ª ordem no intervalo I . Suponha que f ' ' e g ' ' sejam continuas em I . Prove que se o wronskiano de f e g for diferente de zero em todo x ∈ I , então existirá uma equação

y ' ' + p x y ' + q x y = 0

Com p e q contínuas em I , que admitirá f e g como soluções. Determine tal equação.

Passo 1

Bem, sabemos que se o wronskiano for diferente de 0 para rodo x ∈ I , então as funções f e g são linearmente independentes de modo que a gente pode escrever a solução h x como:

h x = c 1 f x + c 2 g x

Onde c 1 e c 2 são diferentes de 0 .

Passo 2

Se h é solução, podemos substituir...

c 1 f x + c 2 g x ' ' + p x c 1 f x + c 2 g x ' + q x c 1 f x + c 2 g x = 0     →

Derivando...

c 1 f ' ' x + c 2 g ' ' x + p x c 1 f ' x + c 2 g ' x + q x c 1 f x + c 2 g x = 0     →

c 1 f ' ' x + c 2 g ' ' x + c 1 f ' x p x + c 2 g ' x p x + c 1 f x q x + c 2 g x q x = 0     →

E afora colocando em evidência...

c 1 f ' ' x + f ' x p x + f x q x + c 2 g ' ' x + g ' x p x + g x q x = 0

Veja que c 1 e c 2 são diferentes de 0 , então...

f ' ' x + f ' x p x + f x q x = 0           e

g ' ' x + g ' x p x + g x q x = 0

Essas duas equações de fato prova que f e g são soluções diferentes da EDO.

Resposta

c 1 f ' ' x + f ' x p x + f x q x + c 2 g ' ' x + g ' x p x + g x q x = 0  

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