3. Seja f x = e - x 2 , - π ≤ x ≤ π . Prove que a série de Fourier de f converge uniformemente em R . (Sugestão: Utilize o Exemplo 5.)

Passo 1

Poxa, o problema nos sugeriu que usássemos o Exemplo 5, e de fato vemos que existe grandes similaridades mesmo. A principal diferença é que no exemplo 5, temos uma função genérica definida de - π a π , e aqui a nossa função é f x = e - x 2 . A série de Fourier dessa função é:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n π

Então, sabemos pelo exemplo que, para uma função definida de - π a π é válida a relação:

a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ≤ M n 2

Onde M é um número real tal que...

a n ≤ M 1 π n 2             e               b n ≤ M 2 π n 2 ,           p r a   n > 1     →

M = M 1 + M 2 n 2

Passo 2

Bem, perceba então que...

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n π ≤ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ M n 2

Como M é um número...

f x ≤ a 0 2 + M ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

ORA! Essa é uma série convergente! Então, podemos garantir que f x , sempre converge no nosso caso, e sempre converge uniformemente!

Resposta

Questão de demonstração.

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