Seja α   um real dado, com α um não natural. Considere a equação diferencial linear de 1ª ordem:

y ' = α 1 + x y ,     x > - 1

  1. Conclua que, para todo x   ϵ   ] - 1 ,   1 [ ,

1 + x α = 1 + ∑ n = 1 + ∞ α α - 1 … ( α - n + 1 ) n ! x n    

Passo 1

Boom, esta aqui nós vamos precisar relacionar tudo o que vimos nas letras anteriores, ok?

Na letra (a) nós concluímos que, quando:

y = 1 + x α

Sua derivada será:

y ' = α 1 + x y

Também vimos pela letra (d) que a função g ( x ) também satisfaz esta igualdade, para os valores dentro do raio de convergência, ou seja, x   ϵ   ] - 1 ,   1 [ .

Se é assim:

g x = y

Para estes intervalos, claro!!

Substituindo g ( x ) e y :

1 + x α = 1 + ∑ n = 1 + ∞ α α - 1 … ( α - n + 1 ) n ! x n    

E assim finalizamos a questão 14 !!

Resposta

1 + x α = 1 + ∑ n = 1 + ∞ α α - 1 … ( α - n + 1 ) n ! x n    

Ver Outros Exercícios desse livro