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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 5a

Seja γ > 0 um real dado. Prove

  1. lim k → + ∞ ⁡ k ln ⁡ k γ = + ∞ . (Sugestão: Lembre-se que lim u → + ∞ ⁡ e u u λ = + ∞ .)

Passo 1

Nesse problema iremos utilizar uma substituição de variáveis, como foi “indicado”, já que apareceu uma variável u . Vamos encontrar k em termos de u , substituir no limite e utilizar o resultado da sugestão para encontrarmos o nosso resultado.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vamos aplicar uma transformação do tipo ln ⁡ k = u . Se fizermos isso, vamos chegar na seguinte relação:

lim k → + ∞ ⁡ k u γ

Que é quase a expressão que queremos encontrar. Bom, se observarmos novamente a substituição que fizemos, podemos tentar encontrar k em função de u ao invés de ln ⁡ k . Aplicando a exponencial de ambos os lados, vamos chegar que:

ln ⁡ k = u

e ln ⁡ k = e u

k = e u

Substituindo agora no nosso limite, vamos ter que

lim u → + ∞ ⁡ e u u γ

Que como nos foi dito na sugestão, é igual a + ∞ . Assim, provamos que

lim k → + ∞ ⁡ k ln ⁡ k γ = lim u → + ∞ ⁡ e u u γ = + ∞

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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