4. Seja a n ,   n ≥ 0 , a sequência do Exercício 1. Tendo em vista os exercícios 2 e 3, prove que a = T a .

Passo 1

Seja a sequência a n ,   n ≥ 0 , dada por a n = T a n - 1 ,   n ≥ 1 , onde T : R → R é uma contração, isto é, existe λ ,   0 ≤ λ < 1 , tal que T x - T y ≤ λ x - y .

Pelo exercício 2, a sequência a n é de Cauchy e, portanto, existe um número real a tal que lim n → ∞ ⁡ a n = a . Pelo exercício 3, a contração T é contínua. Segue que

a = lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ T a n - 1 = T ( lim n → ∞ ⁡ a n - 1 ) = T ( a )

Daí,

a = T ( a )

Resposta

Demonstração

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