2. Seja a n ,   n ≥ 0 , a sequência do exercício anterior. Prove que tal sequência é de Cauchy e , portanto, existe um numero real a tal que lim n → ∞ ⁡ a n = a .

Passo 1

Seja a sequência a n ,   n ≥ 0 , dada por a n = T a n - 1 ,   n ≥ 1 , onde T : R → R é uma contração, isto é, existe λ ,   0 ≤ λ < 1 , tal que T x - T y ≤ λ x - y .

Logo, temos

a n + p - a n ≤ λ n 1 - λ a 1 - a 0 , para todo natural n e todo natural p .

Passo 2

Como 0 < λ < 1 , lim n → ∞ ⁡ λ n 1 - λ a 1 - a 0 = 0 , logo, dado ε > 0 , existe n 0 , tal que

n > n 0 → λ n 1 - λ a 1 - a 0 <   ε

E, assim, para n e p quaisquer, temos

n > n 0 → a n + p - a n <   ε

Portanto, a sequência a n é de Cauchy. Pelo Teorema 1, toda sequencia de Cauchy é convergente. Logo, existe um número real a tal que lim n → ∞ ⁡ a n = a .

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro