2. Seja a sequência do exercício anterior. Prove que tal sequência é de Cauchy e , portanto, existe um numero real a tal que
Passo 1
Seja a sequência dada por , onde é uma contração, isto é, existe tal que
Logo, temos
para todo natural n e todo natural p .
Passo 2
Como logo, dado existe tal que
E, assim, para n e p quaisquer, temos
Portanto, a sequência é de Cauchy. Pelo Teorema 1, toda sequencia de Cauchy é convergente. Logo, existe um número real a tal que
Resposta
Demonstração