4. Seja f (x) = sum_(n = 1)^(oo) (x)/(x^2 + n^2) . Justifique a igualdade

int_0^1 f (x) d x = (1)/(2) sum_(n = 1)^(oo) ln (1 + (1)/(n^2)) .

Passo 1

Seja f (x) = sum_(n = 1)^(oo) (x)/(x^2 + n^2) . Temos que |(x)/(x^2 + n^2)| <= (1)/(n^2) , x in [0,1] .

Como a série harmônica sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2) é convergente, segue, pelo critério M de Weierstrass que a série sum_(n = 1)^(oo) (x)/(x^2 + n^2) é uniformemente convergente em [0,1].

As funções f_n (x) = (x)/(x^2 + n^2) são contínuas em R e, então, em [0,1]. Segue, do Teorema 1 da seção 7.4 que f é contínua em [0,1]. Nestas condições, pelo Teorema 2 da Seção 7.4, os símbolos int_0^1 e sum_(n = 1)^(oo) p o d e m ser permutados.

Passo 2

Daí,

int_0^1 f (x) d x = int_0^1 sum_(n = 1)^(oo) (x)/(x^2 + n^2) d x = sum_(n = 1)^(oo) int_0^1 (x)/(x^2 + n^2) d x =

= sum_(n = 1)^(oo) [ (1)/(2) ln ( x^2 + n^2 ]_0^1 = sum_(n = 1)^(oo) (1)/(2) ln (1 + (1)/(n^2))

Portanto,

int_0^1 f (x) d x = (1)/(2) sum_(n = 1)^(oo) ln ((n^2 + 1)/(n^2))

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro