8. Seja definida e de classe em Para cada natural seja
- Verifique que, para todo natural
- Prove que a série
É uniformemente convergente em R.
Passo 1
Letra (a)
Seja definida e de classe em Para cada natural temos
Integrando por partes,
O primeiro termo no segundo membro é zero. Uma segunda integração por partes dá
Portanto,
Passo 2
Letra (b)
Como é contínua em , é um número real. De (1) segue que e, portanto, para todo e para todo x, tem-se
Por aplicação do critério M de Weierstrass segue que a série é uniformemente convergente.
Resposta
- Verificação
- Demonstração