8. Seja f ( x ) definida e de classe C 2 em π , π . Para cada natural n ≥ 1 , seja

a n = ∫ - π π f x cos ⁡ n x d x

  1. Verifique que, para todo natural n ≥ 1 ,
  2. a n = 1 n 2 f ' π - f ' - π cos ⁡ n π - ∫ π π f ' ' x cos ⁡ n x d x .

  3. Prove que a série

∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x

É uniformemente convergente em R.

Passo 1

Letra (a)

Seja f ( x ) definida e de classe C 2 em π , π . Para cada natural n ≥ 1 , temos

a n = ∫ - π π f x cos ⁡ n x d x

Integrando por partes,

a n = 1 n { f x sin ⁡ n x ] - π π - ∫ - π π f ' x sin ⁡ n x d x

O primeiro termo no segundo membro é zero. Uma segunda integração por partes dá

a n = 1 n 2   [ f ' x cos ⁡ n x ] - π π - ∫ - π π f ' ' x cos ⁡ n x d x

Portanto,

a n = 1 n 2 f ' π - f ' - π cos ⁡ n π - ∫ π π f ' ' x cos ⁡ n x d x           ( 1 )

Passo 2

Letra (b)

Como f ' ' é contínua em [ - π , π ] , ∫ - π π f ' ' ( x ) d x é um número real. De (1) segue que a n ≤ 1 n 2 f ' π - f ' - π + ∫ π π f ' ' x d x e, portanto, para todo n ≥ 1 e para todo x, tem-se

a n cos ⁡ n x ≤ M n 2 ,   o n d e   M = f ' π - f ' - π + ∫ π π f ' ' x d x .

Por aplicação do critério M de Weierstrass segue que a série ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x é uniformemente convergente.

Resposta

  1. Verificação
  2. Demonstração
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