Seja ∑ n = 0 + ∞ a n   uma série de termos estritamente positivos e suponha que

a n + 1 a n     = n k + b 1 n k - 1 + b 2 n k - 2 + … + b k n k + c 1 n k - 1 + c 2 n k - 2 + … + c k

Onde k é um natural fixo, k ≥ 1 ,   e b 1 ,   b 2 ,   … b k , c 1 ,   c 2 ,   … c k são reais fixos. Prove:

c 1 - b 1 ≤ 1     →     ∑ n = 0 + ∞ a n     é   d i v e r g e n t e

Passo 1

Preparados para começar?

Então vamoo que vamooo ...

Para começar vamos usar o critérios de Morgan:

lim n → ∞ ⁡ n 1 - a n + 1 a n - 1

Substituindo:

lim n → ∞ ⁡ n 1 - n k + b 1 n k - 1 + b 2 n k - 2 + … + b k n k + c 1 n k - 1 + c 2 n k - 2 + … + c k - 1 = lim n → ∞ ⁡ n - n n k + b 1 n k - 1 + b 2 n k - 2 + … + b k n k + c 1 n k - 1 + c 2 n k - 2 + … + c k - 1

Reorganizando:

lim n → ∞ ⁡ n k + 1 + b 1 n k + b 2 n k - 1 + … + b k n k + c 1 n k - 1 + c 2 n k - 2 + … + c k + ( n - 1 )

Multiplicando o denominador pelo nosso termo solitário:

lim n → ∞ ⁡ n k + 1 + b 1 n k + b 2 n k - 1 + … + b k + n - 1 n k + c 1 n k - 1 + c 2 n k - 2 + … + c k n k + c 1 n k - 1 + c 2 n k - 2 + … + c k

Separando os termos :

lim n → ∞ ⁡ c 1 - b 1 - 1 n k + c 2 - b 2 - 1 n k - 1 + … + ( c k - b k - 1 ) n k + c 1 n k - 1 + c 2 n k - 2 + … + c k

Colocando em evidência no numerador o termo c 1 - b 1 - 1 n k e o n k no denominador:

lim n → ∞ ⁡ c 1 - b 1 - 1 n k 1 + c 2 - b 2 - 1 n k - 1 c 1 - b 1 - 1 n k + … + c k - b k - 1 c 1 - b 1 - 1 n k n k 1 + c 1 n + c 2 n 2 + … + c k n k

lim n → ∞ ⁡ c 1 - b 1 - 1 1 + c 2 - b 2 - 1 n k - 1 c 1 - b 1 - 1 n k + … + c k - b k - 1 c 1 - b 1 - 1 n k 1 + c 1 n + c 2 n 2 + … + c k n k

Aplicando o limite:

= c 1 - b 1 - 1

De acordo com o critério de Morgan, quando c 1 - b 1 < 1 :

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 - a n + 1 a n - 1 = + ∞ × c 1 - b 1 - 1 = - ∞

Ou seja, série divergente !!

Tranquilo ??

Resposta

D i v e r g e n t e   ‼

Ver Outros Exercícios desse livro