Seja p um natural. Mostre que, para |x| < 1 , tem-se:

  1. |sum_(n = p)^(+ oo) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (1)/(2 p + 1) . (|x|^(2 p + 1))/(1 - x ²)

Passo 1

Animados para mais uma?

Espero que sim!!

Olha galerinha temos que botar a cabeça pra pensar aqui, o menor valor de n aqui é o p, certo?

Então o valor máximo do somatório será assumido quando n = p no denominador:

|sum_(n = p)^(+ oo) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (1)/(2 p + 1) |sum_(n = p)^(+ oo) x^(2 n + 1)|

Vamos ter que ter algo em mente:

|sum_(n = p)^(+ oo) x^(2 n + 1)| = sum_(n = p)^(+ oo) | x | x^(2 n) = (|x|^(2 p + 1))/(1 - x ²)

Sendo assim:

|sum_(n = p)^(+ oo) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (1)/(2 p + 1) (|x|^(2 p + 1))/(1 - x ²)

O que acharam desta?

Resposta

|sum_(n = p)^(+ oo) (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (1)/(2 p + 1) (|x|^(2 p + 1))/(1 - x ²)

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