2. Seja f (x) = sum_(n = 1)^(oo) sin (x)/(n^2) . Justifique a igualdade int_0^1 f (x) d x = sum_(n = 1)^(oo) n^2 (1 - cos (1)/(n^2)) Passo 1Seja f (x) = sum_(n = 1)^(oo) sin ((x)/(n^2)) . Temos que |sin (x)/(n^2)| <= (1)/(n^2) x in [0,1] . Pelo critério M de Weierstrass, a série sum_(n = 1)^(oo) sin ((x)/(n^2)) converge uniformemente em [0,1] . Cada f_n = sin (x)/(n^2) é contínua em [0,1] . Nestas condições, pelo Teorema 2 da seção 7.4 (integração termo a termo), temos int_0^1 f (x) d x = sum_(n = 1)^(oo) int_0^1 f_n (x) d x , o u s e j a , = sum_(n = 1)^(oo) int_0^1 sin (x)/(n^2) d x = sum_(n = 1)^(oo) [ - n^2 cos (x)/(n^2) ]_0^1 Daí, int_0^1 f (x) d x = sum_(n = 1)^(oo) ( n^2 - n^2 cos (1)/(n^2) ) = sum_(n = 1)^(oo) n^2 (1 - cos (1)/(n^2)) RespostaDemonstração. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroVer TambémVer Livro Guidorizzi - Vol. 4 Ver exercício 1.2 - 1cVer exercício 7.4 - 5