2. Seja f (x) = sum_(n = 1)^(oo) sin (x)/(n^2) . Justifique a igualdade

int_0^1 f (x) d x = sum_(n = 1)^(oo) n^2 (1 - cos (1)/(n^2))

Passo 1

Seja f (x) = sum_(n = 1)^(oo) sin ((x)/(n^2)) . Temos que |sin (x)/(n^2)| <= (1)/(n^2) x in [0,1] .

Pelo critério M de Weierstrass, a série sum_(n = 1)^(oo) sin ((x)/(n^2)) converge uniformemente em [0,1] . Cada f_n = sin (x)/(n^2) é contínua em [0,1] .

Nestas condições, pelo Teorema 2 da seção 7.4 (integração termo a termo), temos

int_0^1 f (x) d x = sum_(n = 1)^(oo) int_0^1 f_n (x) d x , o u s e j a ,

= sum_(n = 1)^(oo) int_0^1 sin (x)/(n^2) d x = sum_(n = 1)^(oo) [ - n^2 cos (x)/(n^2) ]_0^1

Daí,

int_0^1 f (x) d x = sum_(n = 1)^(oo) ( n^2 - n^2 cos (1)/(n^2) ) = sum_(n = 1)^(oo) n^2 (1 - cos (1)/(n^2))

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro