5. Seja f x = ∑ n = 1 ∞ a r c t g x n 2 .   Mostre que a série numérica

∑ n = 1 ∞ a r c t g 1 n 2 - n 2 2 ln ⁡ 1 + 1 n 4

É convergente e tem por soma ∫ 0 1 f x d x .

Passo 1

Seja f x = ∑ n = 1 ∞ a r c t g x n 2 . Temos que a r c t g x n 2 ≤ 1 n 2 ,   x ∈ 0,1 .

Como a série harmônica ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 é convergente, segue, pelo critério M de Weierstrass que a série ∑ n = 1 ∞ a r c t g x n 2 é uniformemente convergente em [0,1].

Cada f n x = a r c t g x n 2 é contínua em [0,1]. Portanto, podemos integrar termo a termo uma série uniformemente convergente de funções contínuas. Daí,

∫ 0 1 f x d x = ∫ 0 1 ∑ n = 1 ∞ a r c t g x n 2 d x = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 1 a r c t g x n 2 d x =

= ∑ n = 1 ∞ x a r c t g x n 2 0 1 - ∫ 0 1 n 2 x n 4 + x 2 d x =

= ∑ n = 1 ∞ a r c t g 1 n 2 - n 2 2 ln ⁡ 1 + 1 n 4

Logo, a série dada é convergente e tem por soma ∫ 0 1 f x d x .

Resposta

Demonstração.

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