5. Seja Mostre que a série numérica
É convergente e tem por soma
Passo 1
Seja Temos que
Como a série harmônica é convergente, segue, pelo critério M de Weierstrass que a série é uniformemente convergente em [0,1].
Cada é contínua em [0,1]. Portanto, podemos integrar termo a termo uma série uniformemente convergente de funções contínuas. Daí,
Logo, a série dada é convergente e tem por soma
Resposta
Demonstração.