3. Sejam f ,   g : I → R duas funções, com f e g derivadas no intervalo I . Seja W = W x , x ∈ I , o wronskiano de f e g . Prove que se W x 0 ≠ 0 para algum x 0 ∈ I , então f e g serão linearmente independentes.

Passo 1

De acordo com a teoria, duas funções serão linearmente dependentes se

α f x + β g x = 0

Para todo o x ∈ I , onde pelo menos um dos α ou β devem ser diferente de 0 . Então temos que analisar três casos:

CASO 1: α ≠ 0 e β = 0

CASO 2: α = 0 e β ≠ 0

CASO 3: α ≠ 0 e β ≠ 0

Passo 2

CASO 1: α ≠ 0 e β = 0

Bem, se isso acontece, então...

α f x = 0     →

f x = 0         ( j á   q u e   α ≠ 0 )

A derivada de 0 é 0 :

f ' x = 0

Então, calculando o Wronskiano de f e g :

W = f x g ' x - g x f ' x   →

W = 0

Passo 3

CASO 1: α = 0 e β ≠ 0

Bem, se isso acontece, então...

β g x = 0     →

g x = 0         ( j á   q u e   β ≠ 0 )

A derivada de 0 é 0 :

g ' x = 0

Então, calculando o Wronskiano de f e g :

W = f x g ' x - g x f ' x   →

W = 0

Passo 4

CASO 3: α ≠ 0 e β ≠ 0

Agora, nesse caso, vão existir as duas funções...

α f x + β g x = 0   →

α f x = - β g x   →

f x = - β α g x

Derivando...

f ' x = - β α g ' x

E aplicando o Wronskiano então...

W = f x g ' x - g x f ' x   →

W = - β α g x g ' x - g x - β α g ' x   →

W = - β α g x g ' x + β α g x g ' x   →

W = 0

Passo 5

Bem, os três casos nos provou que se f e g são linearmente dependentes, então necessariamente o Wronskiano deve ser 0 .

Logo, se o Wronskiano for diferente de 0 , a solução deve então ser linearmente independente.

Resposta

Questão de demonstração.

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