3. Sejam duas funções, com e derivadas no intervalo . Seja , , o wronskiano de e . Prove que se para algum , então e serão linearmente independentes.
Passo 1
De acordo com a teoria, duas funções serão linearmente dependentes se
Para todo o , onde pelo menos um dos ou devem ser diferente de . Então temos que analisar três casos:
CASO 1: e
CASO 2: e
CASO 3: e
Passo 2
CASO 1: e
Bem, se isso acontece, então...
A derivada de é :
Então, calculando o Wronskiano de e :
Passo 3
CASO 1: e
Bem, se isso acontece, então...
A derivada de é :
Então, calculando o Wronskiano de e :
Passo 4
CASO 3: e
Agora, nesse caso, vão existir as duas funções...
Derivando...
E aplicando o Wronskiano então...
Passo 5
Bem, os três casos nos provou que se e são linearmente dependentes, então necessariamente o Wronskiano deve ser .
Logo, se o Wronskiano for diferente de , a solução deve então ser linearmente independente.
Resposta
Questão de demonstração.