C - x^2 y^(' ') - 2 x y^' + 2 y = 0 , x > 0

Passo 1

HAHA! Essa é a equação de Euler-Cauchy que pode ser generalizada dessa forma aqui:

x^2 y^(' ') + alpha x y^' + beta y = 0

Onde alpha e beta são constantes reais que no nosso caso, valem...

alpha = - 2 e beta = 2

Passo 2

A forma de se resolver uma equação de Euler Cauchy de acordo com a nossa teoria é primeiro encontrando o polinômio característico:

r^2 + (alpha - 1) r + beta = 0 ->

r^2 + (- 2 - 1) r + 2 = 0 ->

r^2 - 3 r + 2 = 0 ->

r_1 = 1 e r_2 = 2

E a partir dessa solução, temos que dar a resposta para a nossa EDO. Como r gerou dois valores reais e diferentes entre si, então a solução da EDO possuirá esse formato aqui:

y = c_1 x^(r_1) + c_2 x^(r_2)

Ou seja, no nosso caso, a solução será...

y = c_1 x^1 + c_2 x^2 ->

y = c_1 x + c_2 x^2

Onde c_1 e c_2 representa constantes!

Resposta

y = c_1 x + c_2 x^2

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