3. Sejam f x = sin ⁡ x ,   - π 2 < x < π 2 e g x = 1 , - π 2 < x < π 2 . Determine se uma equação do tipo

y ' ' + p x y ' + q x y = 0

Com p e q contínuas em ] - π 2 , π 2 [   , que admita f e g como soluções.

Passo 1

Esse exercício, basicamente é o complemento do exercício anterior! Vimos que o Wronskiano nesse caso é:

W x = f x g x f ' x g ' x

Admitindo f x = sin ⁡ x e g = 1 ...

W x = f x g ' x - g x f ' x     →

W x = sin ⁡ x ⋅ 0 - 1 cos ⁡ x   →

W x = - cos ⁡ x  

Poxa, repare que o wronskiano zera em - π 2 e em π 2 . MAS... Ele não é zero no intervalo...

] - π 2 , π 2 [  

De acordo com a nossa teoria, se o wronskiano for diferente de 0 em pelo menos um ponto do intervalo de definição (como no caso) ele deve ser diferente de 0 para todo mundo pertencente nesse intervalo (se isso não acontecer é porque a EDO não admite solução no intervalo escolhido). Como o intervalo escolhido foi justamente...

] - π 2 , π 2 [  

E as funções f e g são contínuas, então podemos falar que a EDO admite soluções f e g . (pelo menos no intervalo de - π / 2 até π / 2 .)

Resposta

f e g são soluções da EDO, considerando

x ∈   ] - π 2 , π 2 [

Como intervalo de definição.

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