2. Sejam f x = sin ⁡ x e g x = 1 .

A - Calcule o wronskiano de f e g .

B - Seja W = W x o Wronskiano de f e g . Para todo x ∈ R , W x ≠ 0 ?

C - Existe equação do tipo y ' ' + p x y ' + q x y = 0 , com p e q contínuas em R , que admita f e g como soluções? Explique.

Passo 1

L e t r a   A :

Sabemos que o wronskiano pode ser calculado pelo determinante:

W x = f x g x f ' x g ' x

Então...

W x = f x g ' x - g x f ' x

Podemos derivar as nossas funções...

f x = sin ⁡ x             →                     f ' x = cos ⁡ x

g x = 1             →                     g ' x = 0

Agora é só substituir mesmo!

W x = sin ⁡ x ⋅ 0 - 1 cos ⁡ x   →

W x = - cos ⁡ x  

Passo 2

L e t r a   B :

Ora! Acabamos de ver que o wronskiano no nosso caso é - cos ⁡ x . E a função cosseno assume não só uma, mas várias vezes o valor 0 (basta que o x seja 90 ° ou qualquer soma de 90 ° + n 180 ° ):

cos ⁡ x = 0       →             s e m p r e     q u e                 x = π 2 + n π  

Onde n é um número inteiro!

Então, o wronskiano não é diferente de 0   para todo x ∈ R , pois se x for π 2 por exemplo, ele já passa a ser 0 , saca?

Passo 3

L e t r a   C :

Pela nossa teoria, se p e q são contínuas em um intervalo I , o que o nosso problema falar ser todo o R .

Bem, se o Wronskiano é diferente de 0 para um x 0 ∈ I , então ele deve ser diferente de 0 para todo x que pertencem ao I :

S e   W x 0 ≠ 0         →             W x ≠ 0         p a r a   t o d o   x ∈ I

Se o nosso intervalo I fosse de - 90 ° até 90 ° , então existiria EDO y ' ' + p x y ' + q x y = 0 para as nossas soluções f e g . Mas como o nosso intervalo I é todo o real:

I = R

E o Wronskiano é igual a 0 diversas vezes nesse intervalo, concluímos que o wronskiano não é diferente de 0 para todo o R , logo não existe y ' ' + p x y ' + q x y = 0 para as soluções nesse intervalo!

Resposta

Letra A:

W x = - cos ⁡ x

Letra B: Não! Todo x = π 2 + n π , onde n é um inteiro, faz com que W x = 0 .

Letra C: Não admite soluções em R . Motivo: Wronskiano é igual a 0 diversas vezes.

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