2. Sejam e .
A - Calcule o wronskiano de e .
B - Seja o Wronskiano de e . Para todo , ?
C - Existe equação do tipo , com e contínuas em , que admita e como soluções? Explique.
Passo 1
Sabemos que o wronskiano pode ser calculado pelo determinante:
Então...
Podemos derivar as nossas funções...
Agora é só substituir mesmo!
Passo 2
Ora! Acabamos de ver que o wronskiano no nosso caso é . E a função cosseno assume não só uma, mas várias vezes o valor (basta que o seja ou qualquer soma de ):
Onde é um número inteiro!
Então, o wronskiano não é diferente de para todo , pois se for por exemplo, ele já passa a ser , saca?
Passo 3
Pela nossa teoria, se e são contínuas em um intervalo , o que o nosso problema falar ser todo o .
Bem, se o Wronskiano é diferente de para um , então ele deve ser diferente de para todo que pertencem ao :
Se o nosso intervalo fosse de até , então existiria EDO para as nossas soluções e . Mas como o nosso intervalo é todo o real:
E o Wronskiano é igual a diversas vezes nesse intervalo, concluímos que o wronskiano não é diferente de para todo o , logo não existe para as soluções nesse intervalo!
Resposta
Letra A:
Letra B: Não! Todo , onde é um inteiro, faz com que .
Letra C: Não admite soluções em . Motivo: Wronskiano é igual a diversas vezes.