6. Supondo 0 < alpha < 1 , mostre que

a) ln (1 - alpha) = - sum_(k = 1)^(oo) (alpha^k)/(k)

b) |ln (1 - alpha) + sum_(k = 1)^n (alpha^k)/(k)| <= (alpha^(n + 1))/(( n + 1 ) ( 1 - alpha ))

Passo 1

Letra (a)

Vamos mostrar que ln (1 - alpha) = - sum_(k = 1)^(oo) (alpha^k)/(k)

Pela progressão geométrica:

1 + r + r^2 + ... r^(n - 1) + r^n = (1)/(1 - r)

Fazendo r = x neste caso:

(1)/(1 - x) = 1 + x + x^2 + ... x^(n - 1) + x^n

Como:

- ln (1 - alpha) = int_0^(alpha) (1)/(1 - x) d x

Temos que integrando a sequência dos dois lados, vamos obter que:

int_0^(alpha) (1)/(1 - x) d x = int_0^(alpha) 1 + x + x^2 + ... x^(n - 1) + x^n

- ln (1 - alpha) = alpha + (alpha^2)/(2) + (alpha^3)/(3) + ... + (alpha^n)/(n)

Ou seja,

- ln (1 - alpha) = sum_(k = 1)^n (alpha^k)/(k)

ln (1 - alpha) = - sum_(k = 1)^n (alpha^k)/(k)

Passo 2

Letra (b)

De (1), resulta

|ln (1 - alpha) + sum_(k = 1)^n (alpha^k)/(k)| <= (alpha^(n + 1))/(( n + 1 ) ( 1 - alpha ))

Resposta

  1. Demonstração
  2. Demonstração
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