6. Supondo 0 < alpha < 1 , mostre que a) ln (1 - alpha) = - sum_(k = 1)^(oo) (alpha^k)/(k) b) |ln (1 - alpha) + sum_(k = 1)^n (alpha^k)/(k)| <= (alpha^(n + 1))/(( n + 1 ) ( 1 - alpha )) Passo 1Letra (a) Vamos mostrar que ln (1 - alpha) = - sum_(k = 1)^(oo) (alpha^k)/(k) Pela progressão geométrica: 1 + r + r^2 + ... r^(n - 1) + r^n = (1)/(1 - r) Fazendo r = x neste caso: (1)/(1 - x) = 1 + x + x^2 + ... x^(n - 1) + x^n Como: - ln (1 - alpha) = int_0^(alpha) (1)/(1 - x) d x Temos que integrando a sequência dos dois lados, vamos obter que: int_0^(alpha) (1)/(1 - x) d x = int_0^(alpha) 1 + x + x^2 + ... x^(n - 1) + x^n - ln (1 - alpha) = alpha + (alpha^2)/(2) + (alpha^3)/(3) + ... + (alpha^n)/(n) Ou seja, - ln (1 - alpha) = sum_(k = 1)^n (alpha^k)/(k) ln (1 - alpha) = - sum_(k = 1)^n (alpha^k)/(k) Passo 2Letra (b) De (1), resulta |ln (1 - alpha) + sum_(k = 1)^n (alpha^k)/(k)| <= (alpha^(n + 1))/(( n + 1 ) ( 1 - alpha )) Resposta Demonstração Demonstração MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroVer TambémVer Livro Guidorizzi - Vol. 4 Ver exercício 2.1 - 3cVer exercício 2.1 - 3b