Suponha f : [ - π ,   π ] → R de classe C 3 , f - π = f ( π ) e f ' - π = f ' ( π ) . Seja F : R → R dada por

F x = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n   s e n   n x )

Onde a série do 2 ° membro é a série de Fourier de f . Prove que, para todo x   ϵ   R ,

F ' x = ∑ n = 1 + ∞ ( n b n cos ⁡ n x - n a n   s e n   n x )

( S u g e s t ã o : P r o v e   q u e   e x i s t e   M > 0   t a l   q u e ,   p a r a   t o d o   n ≥ 1 ,   a n ≤ M n 3   e   b n ≤ M n 3   e   u t i l i z e   o   T e o r e m a   3   d a   S e ç ã o   7.4 ) .

Passo 1

Pela série de Fourier do 2° membro, temos que:

a n = 1 π ∫ - π π   f x cos ⁡ n x d x

Integrando, obtemos:

a n = 1 π n 3 - f ' ' π - f ' ' - π   s e n   n π + ∫ - π π f ' ' ' x   s e n   n x d x

Assim:

a n = 1 π n 3 ∫ - π π f ' ' ' x   s e n   n x d x ≤ M 1 π n 3

Sendo:

M 1 = ∫ - π π f ' ' ' x d x

Passo 2

Do mesmo jeito, podemos afirmar que existe M 2 > 0 de modo que:

b n ≤ M 2 π n 3

Desse modo:

n b n cos ⁡ n x - n a n   s e n   n x ≤ n b n + n a n ≤ n b n + a n ≤ M n 2

Aqui, sendo:

M = M 1 + M 2 π

E analisando por M de Weierstrass, temos que a série das derivadas ∑ n = 1 + ∞ ( n b n cos ⁡ n x - n a n   s e n   n x ) converge uniformemente em R .

Passo 3

Desse modo, as funções dadas são contínuas, e pelo T e o r e m a   3   d a   S e ç ã o   7.4 temos que:

F ' x = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x + b n   s e n   n x ' = ∑ n = 1 + ∞ ( n b n cos ⁡ n x - n a n   s e n   n x )

Resposta

F ' x = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x + b n   s e n   n x ' = ∑ n = 1 + ∞ ( n b n cos ⁡ n x - n a n   s e n   n x )

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