Suponha : de classe , e . Seja dada por
Onde a série do membro é a série de Fourier de . Prove que, para todo ,
.
Passo 1
Pela série de Fourier do 2° membro, temos que:
Integrando, obtemos:
Assim:
Sendo:
Passo 2
Do mesmo jeito, podemos afirmar que existe de modo que:
Desse modo:
Aqui, sendo:
E analisando por M de Weierstrass, temos que a série das derivadas converge uniformemente em .
Passo 3
Desse modo, as funções dadas são contínuas, e pelo temos que: