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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 4b

Suponha f : [ 1 , + ∞ [ → R contínua, descrescente e positiva. Inspirado no método de Fermat (veja Exercício 22 da Seção 2.1) suponho E > 1 , mostre que

∑ k = 0 + ∞ E k f E k   d i v e r g e n t e   ⟹ ∫ 1 + ∞ f x d x   d i v e r g e n t e

Passo 1

Vamos antes de mais nada, abrir nossa somatória para podermos analisar melhor.

Então tome que

∑ k = 0 + ∞ E k f E k = f 1 + E f E + E 2 f E 2 + … +

Supondo descrever nossa função como

Onde os pontos vermelhos, são referentes aos nossos termos da somatória. Podemos escrever uma nova somatória dada por

∑ k = 0 + ∞ E - 1 E k - 1 f E k = E - 1 E ∑ k = 0 + ∞ E k f E k ≤ ∫ 1 + ∞ f x d x

Então temos que, se nossa somatatória for divergente, então pelo teste da comparação, temos que nossa função também será divergente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro