Verifique que

sum_(k = 1)^(+ oo) ln (k + 1)/(k) = + oo

Sugestão: s_n = sum_(k = 1)^n [ln (k + 1) - ln k] = ... )

Passo 1

Bom ... propriedade de logaritima

ln (a)/(b) = ln a - ln b

Então para o nosso caso temos

ln (k + 1) - ln k

Então se abrirmos a série

sum_(k = 1)^n [ ln (k + 1) - ln k ] = [ln 2 - ln 1] + [ln 3 - ln 2] + [ln 4 - ln 3] + ... + [ ln (n + 1) - ln n ]

Perceba que no passo seguinte, surge um elemento do termo anterior e com o sinal trocado. Assim temos que tudo se anula, menos o ln 1 = 0 e o ln n + 1

Então temos que

sum_(k = 1)^(+ oo) ln (k + 1)/(k) = sum_(k = 1)^(+ oo) [ ln (k + 1) - ln k ] = ln ( oo + 1 ) = + oo

Provando o que queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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