Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 9

Verifique que

∑ k = 1 + ∞ ln ⁡ k + 1 k = + ∞

Sugestão: s n = ∑ k = 1 n ln ⁡ k + 1 - ln ⁡ k = … )

Passo 1

Bom ... propriedade de logaritima

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Então para o nosso caso temos

ln ⁡ k + 1 - ln ⁡ k

Então se abrirmos a série

∑ k = 1 n [ ln ⁡ k + 1 - ln ⁡ k ] = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 + ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3 + … + [ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n ]

Perceba que no passo seguinte, surge um elemento do termo anterior e com o sinal trocado. Assim temos que tudo se anula, menos o ln ⁡ 1 = 0 e o ln ⁡ n + 1

Então temos que

∑ k = 1 + ∞ ln ⁡ k + 1 k = ∑ k = 1 + ∞ [ ln ⁡ k + 1 - ln ⁡ k ] = ln ⁡ ( ∞ + 1 ) = + ∞

Provando o que queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro