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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 25a

Suponha que faltem 3 horas para um estudante fazer um exame e durante esse tempo ele deseja memorizar um conjunto de 60 fatos. De acordo com os psicólogos, a taxa segundo a qual uma pessoa pode memorizar um conjunto de fatos é proporcional ao número de fatos que restam para serem memorizados. Assim, se o estudante memorizar y fatos em t min,

d y d t = k ( 60 - y )

onde k é uma constante positiva e y < 60 para todo t ≥ 0 . Supõe-se que inicialmente zero fato seja memorizado. Se o estudante memoriza 15 fatos nos primeiros 20 min, quantos fatos ele irá memorizar em

(a) 1h

Passo 1

Devemos resolver a equação diferencial dada e encontrar y ( 60 ) . Primeiro separamos as variáveis:

d y 60 - y = k d t

Agora podemos integrar:

∫ d y 60 - y = ∫ k d t ⇒ - ln ⁡ 60 - y = k t + C

⇒ ln ⁡ 60 - y = - k t - C ⇒ 60 - y = e - k t - c

⇒ y = 60 - e - k t - C = 60 - A e - k t

sendo A uma constante qualquer tal que A = e - C . Para completar nossa função, falta achar o valor de A e k .

Passo 2

Do enunciado, sabemos que y 0 = 0 . Então:

y 0 = 60 - A e 0 = 0 ⇒ 60 - A = 0 ⇒ A = 60

⇒ y = 60 - 60 e - k t = 60 1 - e - k t

De y 20 = 15 , tiramos que:

y 20 = 60 1 - e - 20 k = 15 ⇒ 1 - e - 20 k = 15 60 = 1 4

⇒ e - 20 k = 1 - 1 4 = 3 4

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e - 20 k = ln ⁡ 3 4 ⇒ - 20 k = ln ⁡ 3 4 ⇒ k = - 1 20 ln ⁡ 3 4 = 1 20 ln ⁡ 4 3

Agora temos nossa função completa:

y t = 60 ( 1 - e - 1 20 ln ⁡ 4 3   t )

Passo 3

Para t = 60   m i n , temos então:

y 60 = 60 1 - e - 60 20 ln ⁡ 4 3 = 60 1 - e ln ⁡ 4 3 - 3 = 60 1 - 4 3 - 3 = 60 1 - 3 3 4 3 = 34,69

Resposta

Ele irá ter memorizado 34 fatos em 1 hora.

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