4. Suponha que , , seja solução da equação
Onde e são supostas contínuas no intervalo . Suponha que, para todo , . Prove que toda solução , da equação linear de Ordem
é também solução de . (Na equação anterior, está representando uma particular primitiva de .)
Passo 1
Antes de começarmos, vamos fazer uma troca aqui. A solução dessa EDO de primeira ordem aqui:
É , então vamos trocar o por . Além disso, vamos tirar esse “de ” das funções só para deixar a equação mais enxuta:
SHOW! Agora vamos calcular o determinante do lado esquerdo:
Repare que podemos derivar mais uma vez essa equação a fim de obter , veja:
Ora, a derivada de exponencial é a exponencial vezes a derivada da função do expoente:
Passo 2
Da primeira equação que obtivemos quando simplesmente tiramos o determinante...
Podemos isolar dela...
Dessa outra equação que determinamos fazendo a derivada...
Podemos isolar :
Passo 3
Então! Por que fizemos isso tudo? Pois queremos provar que é solução dessa equação aqui:
Se isso é verdade, então podemos falar que:
Substituindo e o que calculamos anteriormente...
Poxa vida, também é solução de da EDO, de modo que...
Então...
Ora, não chegamos a nenhuma contradição como ou outro absurdo qualquer. O que significa que de fato é solução da EDO dada!
Resposta
Questão de demonstração.