4. Suponha que y = f x , x ∈ I , seja solução da equação

y ' ' + p x y ' + q x y = 0

Onde p e q são supostas contínuas no intervalo I . Suponha que, para todo x ∈ I , f x ≠ 0 . Prove que toda solução y = g x , x ∈ I da equação linear de 1 ª Ordem

f x y f ' x y ' = e - ∫ p x d x

é também solução de 5 . (Na equação anterior, ∫ p x d x está representando uma particular primitiva de p x .)

Passo 1

Antes de começarmos, vamos fazer uma troca aqui. A solução dessa EDO de primeira ordem aqui:

f x y f ' x y ' = e - ∫ p x d x   →

É y = g x , então vamos trocar o y por g . Além disso, vamos tirar esse “de x ” das funções só para deixar a equação mais enxuta:

f g f ' g ' = e - ∫ p x d x   →

SHOW! Agora vamos calcular o determinante do lado esquerdo:

f g ' - g f ' = e - ∫ p x d x

Repare que podemos derivar mais uma vez essa equação a fim de obter g ' ' , veja:

f ' g ' + f g ' ' - g ' f ' - g f ' ' = d d x e - ∫ p x d x       →

Ora, a derivada de exponencial é a exponencial vezes a derivada da função do expoente:

f g ' ' - g f ' ' = e - ∫ p x d x ⋅ d d x - ∫ p x d x       →

f g ' ' - g f ' ' = - p x e - ∫ p x d x  

Passo 2

Da primeira equação que obtivemos quando simplesmente tiramos o determinante...

f g ' - g f ' = e - ∫ p x d x       →

Podemos isolar g ' dela...

f g ' = e - ∫ p x d x + g f '   →

g ' = 1 f e - ∫ p x d x + g f f '  

Dessa outra equação que determinamos fazendo a derivada...

f g ' ' - g f ' ' = - p x e - ∫ p x d x     →

Podemos isolar g ' ' :

g ' ' = - p x f e - ∫ p x d x + g f f ' '

Passo 3

Então! Por que fizemos isso tudo? Pois queremos provar que g é solução dessa equação aqui:

y ' ' + p x y ' + q x y = 0 →

Se isso é verdade, então podemos falar que:

g ' ' + p x g ' + q x g = 0   →

Substituindo g ' ' e o g ' que calculamos anteriormente...

- p x f e - ∫ p x d x + g f f ' ' + p x 1 f e - ∫ p x d x + g f f ' + q x g = 0   →

- p x f e - ∫ p x d x + g f f ' ' + p x f e - ∫ p x d x + p x g f f ' + q x g = 0   →

+ g f f ' ' + p x g f f ' + q x g = 0   →

+ g f f ' ' + p x f ' + q x f = 0   →

Poxa vida, f também é solução de da EDO, de modo que...

y ' ' + p x y ' + q x y = 0 →         f ' ' + p x f ' + q x f = 0

Então...

+ g f ⋅ 0 = 0   →

0 = 0

Ora, não chegamos a nenhuma contradição como 1 = 0 ou outro absurdo qualquer. O que significa que de fato g é solução da EDO dada!

Resposta

Questão de demonstração.

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