8. Considere a equação

y ' ' + x y ' + 1 x 2 - x y = 0 ,               0 < x < 1

Uma função y = f x , 0 < x < 1 , cujo gráfico tenha o aspecto abaixo, pode ser solução? Por quê?

Passo 1

ÉEEEEEEE NÃO! Kkkkk

Não pode, pois no ponto mínimo dessa função, x = x 0 quase no meio de 0 e 1 , além de y x 0 = 0 , a derivada da função também é zerada, justamente por ser um ponto mínimo:

y ' x 0 = 0

POXA! De acordo com o teorema da Unicidade e existência, se uma função h tem as mesmas condições iniciais, isto é:

h x 0 = 0           e           h ' x 0 = 0

Então podemos falar que ela é a mesma função solução da EDO:

y x = h x

Ora, qual é a função cuja derivada também é 0 ? SIM! A função nula:

h x = 0

O que implicaria em...

y x = 0

Isso não é verdade, né? Na figura y x parece ser uma parábola e não a constante 0 .

Resposta

Questão de demonstração.

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