19. Suponha que e , . Seja solução do sistema
Calcule a derivada da função dada por , . O que se pode concluir a respeito da distância do ponto à origem? Interprete.
Passo 1
A distância ao quadrado de um ponto no plano até a origem é dada pela função que ele nos deu:
Se a gente derivar essa função em relação à :
Como ou é o mesmo que e ...
Passo 2
Poxa! Então veja que precisamos encontrar as funções e . Podemos fazer isso resolvendo o sistema de equações diferencias. Para isso, aqui está a matriz de coeficientes retirada do nosso sistema:
E agora encontrar os seus autovalores !
Bem, como é apenas subtrair da diagonal principal...
Resolvendo o determinante...
Resolvendo por Báskara...
A solução de um sistema de EDO com real e único:
Onde e são:
Onde . e são os autovalores determinados a partir de:
Vamos então determinar esse autovetor !
Passo 3
Primeiro o autovalor :
Então para o teremos de coordenadas desconhecidas :
Ora, sabemos que asta subtrair da diagonal:
Essas duas linhas são Linearmente dependentes e sempre serão! Então, basta pegar a primeira linha e multiplicar com a coluna e igualar a (produto de matrizes):
Se falarmos que , então...
Então um autovetor para é:
Primeiro o autovalor :
Então para o teremos de coordenadas desconhecidas :
Ora, sabemos que asta subtrair da diagonal:
Essas duas linhas são Linearmente dependentes e sempre serão! Então, basta pegar a primeira linha e multiplicar com a coluna e igualar a (produto de matrizes):
Se falarmos que , então...
Então um autovetor para é:
Passo 4
Onde e são:
Então...
Então a derivada...
Colocando em evidência o termo da exponencial...
Passo 5
Beleza! Então vamos filosofar um pouco sobre esse resultado!
Como , o termo dos colchetes vai ser positivo com certeza para certo valor de . O que significa que a derivada vai ser positiva a partir desse valor de . Podemos concluir então que a função distância aumenta com o passar do tempo !
Resposta
A função distância aumenta com o passar do tempo, logo estaremos nos afastando da origem.