19. Suponha que x = x t e y = y t , t ≥ 0 . Seja solução do sistema

x ˙ = 3 x + y y ˙ = - x + 5 y

Calcule a derivada da função dada por C t = x t 2 + y t 2 , t ≥ 0 . O que se pode concluir a respeito da distância do ponto x t ,   y t à origem? Interprete.

Passo 1

A distância ao quadrado de um ponto no plano x y até a origem é dada pela função que ele nos deu:

C t = x t 2 + y t 2     →

Se a gente derivar essa função em relação à t :

d C t d t = 2 x t ⋅ d x d t + 2 y t ⋅ d y d t   →

Como d x d t ou d y d t é o mesmo que x ˙ e y ˙ ...

x ˙ = 3 x + y y ˙ = - x + 5 y

d C t d t = 2 x ⋅ 3 x + y - 2 y ⋅ - x + 5 y   →

d C t d t = 6 x 2 + 2 x y + 2 x y - 10 y 2   →

d C t d t = 6 x 2 + 4 x y - 10 y 2  

Passo 2

Poxa! Então veja que precisamos encontrar as funções x t e y t . Podemos fazer isso resolvendo o sistema de equações diferencias. Para isso, aqui está a matriz de coeficientes retirada do nosso sistema:

A = 3 1 - 1 5

E agora encontrar os seus autovalores λ !

det ⁡ A - λ I = 0

Bem, como A - λ I é apenas subtrair λ da diagonal principal...

det ⁡ 3 - λ 1 - 1 5 - λ = 0     →

Resolvendo o determinante...

3 - λ 5 - λ - 1 - 1 = 0     →

+ 15 - 3 λ - 5 λ + λ 2 + 1 = 0

λ 2 - 8 λ + 16 = 0     →

Resolvendo por Báskara...

λ = 4  

A solução de um sistema de EDO com λ real e único:

x y = c 1 T 1 + c 2 T 2

Onde T 1 e T 2 são:

T 1 = v 1 e λ 1 t

T 2 = v 1 t e λ 1 t + v 2 e λ 2 t

Onde λ 1 = λ 2 = λ . v 1 e v 2 são os autovalores determinados a partir de:

A - λ I v 1 = 0

A - λ I v 2 = v 1

Vamos então determinar esse autovetor v → !

Passo 3

Primeiro o autovalor v 1 :

Então para o λ 1 = 4 teremos v 1 de coordenadas desconhecidas a b :

A - λ 1 I v 1 = 0         →

A - λ 1 I a b = 0         →

Ora, sabemos que A - λ 1 I asta subtrair λ da diagonal:

3 - λ 1 - 1 5 - λ a b = 0         →

3 - 4 1 - 1 5 - 4 a b = 0       →

- 1 1 - 1 1 a b = 0       →

Essas duas linhas são Linearmente dependentes e sempre serão! Então, basta pegar a primeira linha e multiplicar com a coluna a b e igualar a 0 (produto de matrizes):

- a + b = 0   →

b = a  

Se falarmos que a = 1 , então...

b = 1  

Então um autovetor v 1 para λ 1 é:

v 1 = 1 1

Primeiro o autovalor v 2 :

Então para o λ 2 = 4 teremos v 2 de coordenadas desconhecidas a b :

A - λ 2 I v 2 = v 1         →

A - λ 2 I a b = 1 1         →

Ora, sabemos que A - λ 1 I asta subtrair λ da diagonal:

3 - λ 1 - 1 5 - λ a b = 1 1         →

3 - 4 1 - 1 5 - 4 a b = 1 1       →

- 1 1 - 1 1 a b = 1 1       →

Essas duas linhas são Linearmente dependentes e sempre serão! Então, basta pegar a primeira linha e multiplicar com a coluna a b e igualar a 1 (produto de matrizes):

- a + b = 1   →

b = 1 + a  

Se falarmos que a = 0 , então...

b = 1  

Então um autovetor v 2 para λ 2 é:

v 2 = 0 1

Passo 4

x y = c 1 T 1 + c 2 T 2

Onde T 1 e T 2 são:

T 1 = 1 1 e - 4 t

T 2 = 1 1 t e 4 t + 0 1 e 4 t

Então...

x y = c 1 1 1 e 4 t + c 2 1 1 t e 4 t + c 2 0 1 e 4 t

x = c 1 e 4 t + c 2 t e 4 t y = c 1 e 4 t + c 2 t e 4 t + c 2 e 4 t

Então a derivada...

d C t d t = 2 c 1 e 4 t + c 2 t e 4 t ⋅ d d t c 1 e 4 t + c 2 t e 4 t + 2 c 1 e 4 t + c 2 t e 4 t + c 2 e 4 t ⋅ d d t c 1 e 4 t + c 2 t e 4 t + c 2 e 4 t   →

d C t d t = 2 c 1 e 4 t + c 2 t e 4 t 4 c 1 e 4 t + 4 c 2 t e 4 t + c 2 e 4 t + 2 c 1 e 4 t + c 2 t e 4 t + c 2 e 4 t ⋅ 4 c 1 e 4 t + 4 c 2 t e 4 t + c 2 e 4 t + 4 c 2 e 4 t   →

d C t d t = 2 e 4 t e 4 t   c 1 + c 2 t 4 c 1 + 4 c 2 t + c 2 + 2 e 4 t e 4 t   c 1 + c 2 t + c 2 ⋅ 4 c 1 + 4 c 2 t + 5 c 2   →

Colocando em evidência o termo da exponencial...

d C t d t = 2 e 8 t   c 1 + c 2 t 4 c 1 + 4 c 2 t + c 2 +   c 1 + c 2 t + c 2 ⋅ 4 c 1 + 4 c 2 t + 5 c 2   →

Passo 5

Beleza! Então vamos filosofar um pouco sobre esse resultado!

d C t d t = 2 e 8 t   c 1 + c 2 t 4 c 1 + 4 c 2 t + c 2 +   c 1 + c 2 t + c 2 ⋅ 4 c 1 + 4 c 2 t + 5 c 2   →

Como t > 0 , o termo dos colchetes vai ser positivo com certeza para certo valor de t . O que significa que a derivada vai ser positiva a partir desse valor de t . Podemos concluir então que a função distância aumenta com o passar do tempo t !

Resposta

d C t d t = 2 e 8 t   c 1 + c 2 t 4 c 1 + 4 c 2 t + c 2 +   c 1 + c 2 t + c 2 ⋅ 4 c 1 + 4 c 2 t + 5 c 2  

A função distância aumenta com o passar do tempo, logo estaremos nos afastando da origem.

Ver Outros Exercícios desse livro