14. Os lados e de um retângulo estão variando com o tempo nas seguintes taxas
Sabe-se, no instante , e . Determine o instante em que a área do retângulo é mínima.
Passo 1
Poxa, a área do retângulo é dado por:
Trata-se de uma questão de otimização onde queremos o tempo onde a área mínima. A condição para o Área ser mínima é que a sua derivada em relação ao tempo seja . Derivando ...
Então, para descobrir o tempo que isso acontece, temos que antes achar o e o resolvendo o sistema de EDO! Vamos nessa?
Passo 2
Para resolver essa EDO, primeiro devemos montar a matriz dos coeficientes:
E agora encontrar os seus autovalores !
Bem, como é apenas subtrair da diagonal principal...
Resolvendo o determinante...
Ou seja:
Como os dois são reais e diferentes, a solução terá essa cara aqui:
Onde e são autovetores que devemos determinar! Bora?
Passo 3
Os autovetores podem ser calculados assim:
AUTOVETOR PARA :
Então para o teremos de coordenadas desconhecidas :
Ora, sabemos que asta subtrair da diagonal:
Essas duas linhas são Linearmente dependentes e sempre serão! Então, basta pegar a primeira linha e multiplicar com a coluna e igualar a (produto de matrizes):
Se falarmos que , então...
Então um autovetor para é:
Lembre-se que você pode pegar outro valor para , desde que seja está valendo!
AUTOVETOR PARA :
Para o autovetor associado ao devemos fazer basicamente a mesma coisa:
Ora, sabemos que asta subtrair da diagonal:
Pegando a primeira linha e multiplicar com a coluna e igualar a :
Se falarmos agora que , então...
Então um autovetor para é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos retornar para a solução da EDO:
E substituir...
Ou seja:
Para descobrir e , sabemos que: e . Então...
Multiplicando a primeira equação por e somando na segunda...
Enquanto que o ...
Isso basicamente nos fala que a solução de e é:
Passo 5
Solução encontrada, podemos voltar para a equação do passo 1:
Calculando essas derivadas aí...
Multiplicando...
Como (propriedade de potenciação):
Aplicando em todo mundo...