14. Os lados x = x t e y = y t de um retângulo estão variando com o tempo nas seguintes taxas

d x d t = 3 x - 2 y d y d t = 4 x - 3 y

Sabe-se, no instante t = 0 , x 0 = 2 e y 0 = 3 . Determine o instante em que a área do retângulo é mínima.

Passo 1

Poxa, a área do retângulo é dado por:

A t = x t ⋅ y t

Trata-se de uma questão de otimização onde queremos o tempo t onde a área mínima. A condição para o Área ser mínima é que a sua derivada em relação ao tempo seja 0 . Derivando A ...

d A t d t = x t d y t d t + y t d y t d t       →

x t d y t d t + y t d y t d t = 0

Então, para descobrir o tempo t que isso acontece, temos que antes achar o x t e o y t resolvendo o sistema de EDO! Vamos nessa?

Passo 2

d x d t = 3 x - 2 y d y d t = 4 x - 3 y

Para resolver essa EDO, primeiro devemos montar a matriz A dos coeficientes:

A = 3 - 2 4 - 3

E agora encontrar os seus autovalores λ !

det ⁡ A - λ I = 0

Bem, como A - λ I é apenas subtrair λ da diagonal principal...

det ⁡ 3 - λ - 2 4 - 3 - λ = 0     →

Resolvendo o determinante...

3 - λ - 3 - λ - - 2 4 = 0     →

- 9 - 3 λ + 3 λ + λ 2 + 8 = 0     →

λ 2 - 1 = 0     →

λ = ± 1

Ou seja:

λ 1 = 1         e               λ 2 = - 1

Como os dois λ são reais e diferentes, a solução terá essa cara aqui:

x y = c 1 v 1 e λ 1 t + c 2 v 2 e λ 2 t

Onde v 1 e v 2 são autovetores que devemos determinar! Bora?

Passo 3

Os autovetores podem ser calculados assim:

A - λ I v = 0

AUTOVETOR PARA λ 1 :

Então para o λ 1 teremos v 1 de coordenadas desconhecidas a b :

A - λ 1 I v 1 = 0         →

A - λ 1 I a b = 0         →

Ora, sabemos que A - λ 1 I asta subtrair λ da diagonal:

3 - λ 1 - 2 4 - 3 - λ 1 a b = 0         →

3 - 1 - 2 4 - 3 - 1 a b = 0         →

2 - 2 4 - 4 a b = 0         →

Essas duas linhas são Linearmente dependentes e sempre serão! Então, basta pegar a primeira linha e multiplicar com a coluna a b e igualar a 0 (produto de matrizes):

2 a - 2 b = 0

Se falarmos que b = 1 , então...

2 a - 2 = 0   →

a = 1

Então um autovetor v 1 para λ 1 é:

v 1 = 1 1

Lembre-se que você pode pegar outro valor para b , desde que a seja 2 a = 2 b está valendo!

AUTOVETOR PARA λ 2 :

Para o autovetor associado ao λ 2 devemos fazer basicamente a mesma coisa:

A - λ 2 I v 2 = 0         →

A - λ 2 I a b = 0         →

Ora, sabemos que A - λ 2 I asta subtrair λ da diagonal:

3 - λ 2 - 2 4 - 3 - λ 2 a b = 0         →

3 - - 1 - 2 4 - 3 - - 1 a b = 0         →

4 - 2 4 - 2 a b = 0         →

Pegando a primeira linha e multiplicar com a coluna a b e igualar a 0 :

4 a - 2 b = 0

Se falarmos agora que a = 1 , então...

4 - 2 b = 0   →

b = 2

Então um autovetor v 2 para λ 2 é:

v 1 = 1 2

Passo 4

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos retornar para a solução da EDO:

x y = c 1 v 1 e λ 1 t + c 2 v 2 e λ 2 t

E substituir...

x y = c 1 1 1 e t + c 2 1 2 e - t     →

Ou seja:

x = c 1 e t + c 2 e - t y = c 1 e t + 2 c 2 e - t

Para descobrir c 1 e c 2 , sabemos que: x 0 = 2 e y 0 = 3 . Então...

x 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 y 0 = c 1 e 0 + 2 c 2 e 0       →

2 = c 1 + c 2 3 = c 1 + 2 c 2       →

Multiplicando a primeira equação por - 1 e somando na segunda...

- 2 + 3 = - c 1 + c 1 - c 2 + 2 c 2       →

1 = c 2    

Enquanto que o c 1 ...

2 = c 1 + c 2     →

c 1 = 1

Isso basicamente nos fala que a solução de x e y é:

x = e t + e - t y = e t + 2 e - t

Passo 5

Solução encontrada, podemos voltar para a equação do passo 1:

x t d y t d t + y t d y t d t = 0     →

e t + e - t d d t e t + 2 e - t + e t + 2 e - t d d t e t + e - t = 0     →

Calculando essas derivadas aí...

e t + e - t e t - 2 e - t + e t + 2 e - t e t - e - t = 0     →

Multiplicando...

e t e t - 2 e t e - t + e - t e t - 2 e - t e - t + e t e t - e t e - t + 2 e - t e t - 2 e - t e - t = 0     →

Como a x a y = a x + y (propriedade de potenciação):

e 2 t - 2 + 1 - 2 e - 2 t + e 2 t - 1 + 2 - 2 e - 2 t = 0     →

2 e 2 t - 4 e - 2 t = 0

2 e 2 t = 4 e - 2 t

Aplicando l n em todo mundo...

ln ⁡ 2 e 2 t = ln ⁡ 4 e - 2 t     →

ln ⁡ 2 + ln ⁡ e 2 t = ln ⁡ 4 + ln ⁡ e - 2 t     →

ln ⁡ 2 + 2 t = ln ⁡ 4 - 2 t     →

+ 4 t = ln ⁡ 4 - ln ⁡ 2     →

t = ln ⁡ 4 - ln ⁡ 2 4

Resposta

t = ln ⁡ 4 - ln ⁡ 2 4

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