Suponha que ∑ n = 0 + ∞ a n x n tem raio de convergência R ,   R > 0 ou R = + ∞ . Prove que o raio de convergência de ∑ n = 0 + ∞ n a n x n - 1 é, também, R.

Passo 1

Vamos começar mais uma seção ?

Então apertem os cintos !!

Sabemos que:

R = l i m k → ∞ U k + 1 U k

Para a função a n x n :

R = l i m k → ∞ a k + 1 x k + 1 a k x k = l i m k → ∞ a k + 1 x k . x a k x k = l i m k → ∞ a k + 1 . x a k = x l i m k → ∞ a k + 1 a k

Então:

R = a k + 1 a k

Para a segunda, n a n x n - 1 :

R = l i m k → ∞ k + 1 a k + 1 x k - 1 + 1 k a k x k = l i m k → ∞ k a k + 1 x k + a k + 1 x k k a k x k = l i m k → ∞ k a k + 1 + a k + 1 k a k

Dividindo tudo por k:

R = l i m k → ∞ a k + 1 + a k + 1 k a k = a k + 1 a k

Então as duas funções possuem o mesmo raio de convergência !!

Legal ou não ?!

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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