Seja ∑ n = 0 + ∞ a n x n com raio de convergência R ,   R > 0 ou R = + ∞ .

  1. Prove que a série ∑ n = 1 n + ∞ n a n x n - 1 converge uniformemente em todo o intervalo [ - r , r ] contido em ] - R , R [ .

Passo 1

Já estamos indo para a letra (d), e quase finalizando mais uma questão!

Na letra (b) comprovamos, já que:

a n r n ≤ M

Então:

n a n x n - 1 ≤ n M r x r n - 1

Se considerarmos que:

0 < x < r < R

Então:

x r n - 1 < 1

Não é verdade? Isso porque teremos um valor maior no dividendo do que no numerador !!

Se isso é verdade, a série geométrica:

∑ n = 1 + ∞ k x r n - 1

Será, consequentemente, convergente!!

Depois que concluímos tudo isso podemos inferir que a série ∑ n = 1 n + ∞ n a n x n - 1 será uniformemente convergente em todo o intervalo [ - r , r ] contido em ] - R , R [ .

Bora pra letra (e)??

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

Ver Outros Exercícios desse livro