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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.Exercícios de Revisão - Ex. 19

Use o método de Picard para encontrar aproximações y 1 ,   y 2 . Para y ' = x 2 + y 2 ,   y 0 = 1 .

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, a gente tem essa equação aqui:

y ' = x 2 + y 2

E a gente vai usar o método de Picard para encontrar as funções pedidas.

A questão nos deu y 0 = 1 , então temos x 0 = 0 , y 0 = 1 e f t ,   y n - 1 t =   t 2 + y n - 1 t 2 .

Lembrando que a fórmula de Picard é:

y n x = y 0 + ∫ 0 x   f t ,   y n - 1 t   d t  

Passo 2

Então vamos por partes...

Primeiro vamos encontrar y 1 :

y 1 = 1 + ∫ 0 x t 2 + 1 2 d t

y 1 = 1 + t 3 3 + t 0 x

y 1 = 1 + x 3 3 + x

Beleza, encontramos y 1 , vamos seguir...

Passo 3

Agora y 2 :

y 2 = 1 + ∫ 0 x t 2 + 1 + t 3 3 + t 2 d t

y 2 = 1 + ∫ 0 x t 2 + t 6 9 + 2 3 t 4 + 2 t 3 3 + t 2 + 2 t + 1   d x

y 2 = 1 + 2 t 3 3 + t 7 63 + 2 t 5 15 + 2 t 4 12 + t 2 + t 0 x

y 2 = 1 + x + x 2 + 2 x 3 3 + x 4 6 + 2 t x 5 15 + x 7 63

E terminamos! 😉

Resposta

y 1 = 1 + x 3 3 + x

y 2 = 1 + x + x 2 + 2 x 3 3 + x 4 6 + 2 t x 5 15 + x 7 63

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