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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 12

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y = 1 + c 1 . x 1 - c 1 . x

Passo 1

E aí, vamos lá fazer mais um de trajetórias ortogonais?

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   y = 1 + c 1 . x 1 - c 1 . x , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y = 1 + c 1 . x 1 - c 1 . x     ( I )

Usando a regra do quociente:

d y d x = c 1 . ( 1 - c 1 . x ) - ( 1 + c 1 . x ) . ( - c 1 ) ( 1 - c 1 . x ) ²

d y d x = c 1 - c 1 2 . x + c 1 + c 1 2 . x ( 1 - c 1 . x ) ²

d y d x = 2 c 1 ( 1 - c 1 . x ) ²       ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

y = 1 + c 1 . x 1 - c 1 . x

y - c 1 . x . y = 1 + c 1 . x

c 1 . x + c 1 . x . y = y - 1

c 1 . x + x y = y - 1

c 1 = y - 1 x + x y

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = 2 y - 1 x + x y 1 - y - 1 x + x y . x 2

d y d x = 2 y - 1 x + x y 1 - x y - x x + x y 2

d y d x = 2 y - 1 x + x y x + x y x + x y - x y - x x + x y 2

d y d x = 2 y - 1 x + x y x + x y - x y + x x + x y 2

d y d x = 2 ( y - 1 ) x + x y 2 x x + x y 2

d y d x = 2 ( y - 1 ) x + x y 4 x ² ( x + x y ) ²

d y d x = 2 ( y - 1 ) . ( x + x y ) ² x + x y . 4 x ²

d y d x = 2 ( y - 1 ) . ( x + x y ) 4 x ²

d y d x = x y + x y 2 - x - x y 2 x ²

d y d x = x . ( y 2 - 1 ) 2 x ²

E finalmenteee, a equação diferencial da família dada é

d y d x = y 2 - 1 2 x

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = y 2 - 1 2 x

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - 2 x y 2 - 1

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = - 2 x y 2 - 1

Multiplicando em cruz:

( y 2 - 1 )   d y = - 2 x   d x

Integrando dos dois lados:

∫ y 2 - 1   d y = - ∫ 2 x   d x

y 3 3 - y + c 2 = - x 2 + c 3

Podemos juntar c 2 e c 3 e formar uma nova constante c 4

y 3 3 - y = - x 2 + c 4

Então, multiplicando tudo por 3 mandando tudo pra um lado só, temos que as trajetórias ortogonais são descritas assim:

y 3 - 3 y + 3 x ² = c 4

Resposta

y 3 - 3 y + 3 x ² = c 4

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