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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 7

  1. Use o método de Picard para encontrar y 1 ,   y 2 ,   y 3 do problema

    2. y ' = 1 + y 2 ,     y 0 = 0

  2. Resolva o problema de valor inicial da parte (a) por um dos métodos deste capítulo.
  3. Compare os resultados da parte (a) e (b).

Passo 1

Olá, tudo bem?

  1. Olha só, a gente tem essa equação aqui:

    2. y ' = 1 + y 2 ,    

    E a gente vai usar o método de Picard para encontrar as funções pedidas.

    A questão nos deu y 0 = 0 , então temos x 0 = 0 , y 0 = 0 e f t ,   y n - 1 t =   1 + y n - 1 t 2 .

    Lembrando que a fórmula de Picard é:

    y n x = y 0 + ∫ 0 x   f t ,   y n - 1 t   d t  

    Passo 2

    Então vamos por partes...

    Primeiro vamos encontrar y 1 :

    y 1 = 0 + ∫ 0 x 1 + 0 2 d t

    y 1 = t 0 x

    y 1 = x

    Beleza, encontramos y 1 , vamos seguir...

    Passo 3

    Agora y 2 :

    y 2 = 0 + ∫ 0 x 1 + t 2   d t

    y 2 = t + t 3 3 0 x

    y 2 = x + x 3 3

    Beleza, mais um!

    Passo 4

    Agora y 3 , vamos lá...

    y 3 = 0 + ∫ 0 x 1 + t + t 3 3 2 d t

    y 3 = ∫ 0 x 1 + t 2 + 2 t 4 3 + t 6 9   d t

    y 3 = t + t 3 3 + 2 t 5 15 + t 7 63

    y 3 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + x 7 63

    E prontinho! Encontramos as três funções!

    Passo 5

  2. Agora a gente quer resolver a EDO através de algum método que a gente já viu. Vamos lá!

    3. y ' = 1 + y 2

    d y d x = 1 + y 2

    d y = ( 1 + y 2 ) d x

    d y 1 + y 2 = d x

    Transformamos em uma EDO separável e agora vamos integrar os dois lados:

    ∫ d y 1 + y 2 = ∫ d x

    a r c t g   y = x + C

    y = tg ⁡ ( x + C )

    Usando o valor inicial y 0 = 0 , temos:

    0 = tg ⁡ ( 0 + C )

    C = 0

    A solução então é:

    y = tg ⁡ x

    Passo 6

  3. Agora vamos comparar...

Bom, a série de Maclaurin para tg ⁡ x   é :

x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + 17 315 x 7 + …

Que é bem próxima ao que estávamos encontrando por Picard!

Terminamos por aqui😊

Resposta

  1. y 1 = x ; y 2 = x + x 3 3 ;     y 3 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + x 7 63
  2. y = tg ⁡ x
  3. São bem próximas.
Ver Outros Exercícios desse livro