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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.7 - Ex. 26

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y 2 y ' ' = y '

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

y 2 y ' ' = y '

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

A gente tem que tentar diminuir a ordem dessa EDO, pra isso, vamos fazer:

u = y '

Passo 2

Bom, se u = y ' , temos:

y ' ' = u d u d y

Substituindo isso na EDO, temos:

y 2 y ' ' = y '

y 2 u d u d y = u

y 2 d u d y = 1

y 2   d u = d y

d u = d y y 2

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫ d u   = ∫ d y y 2

u = - 1 y + C

E como u = y ' , temos:

y ' =   - 1 y + C

d y d x = - 1 + C y y

y   d y = - 1 + C y d x

y - 1 + C y   d y = d x

Aí vamos integrar novamente...

Passo 4

Temos que:

∫ d x = ∫ y - 1 + C y   d y

x = 1 C 2 C y - 1 + ln ⁡ C y - 1 + C 2

x - 1 C 2 C y - 1 + ln ⁡ C y - 1 = C 2

E agora sim, terminamos! 😉

Resposta

x - 1 C 2 C y - 1 + ln ⁡ C y - 1 = C 2

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