Seja derivável até a ordem no intervalo e sejam . Entao, existe tal que
(Fórmula de Taylor com resto de Lagrange, Seção 16.3)
Sendo e para todo x, existe entre 0 e tal que
Se , , pois Logo,
Como pelo confronto,
Se , , pois Logo,
Como segue,
Portanto, para todo x, temos
Observação:
Como a série é convergente para todo x, então para todo x.