5. Utilizando a fórmula de Taylor com resto de Lagrange ( veja Vol.1), mostre que, para todo x, tem-se

a) e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Passo 1

Seja f derivável até a ordem ( n + 1 ) no intervalo I e sejam x , x 0 ∈ I . Entao, existe x - ∈ ]   x 0 , x [   tal que

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + … + f n x 0 n ! x - x 0 n + … + f n + 1 x - n + 1 ! x - x 0 n + 1

(Fórmula de Taylor com resto de Lagrange, Seção 16.3)

Sendo f x = e x e x 0 = 0 , para todo x, existe x - entre 0 e x tal que

e x = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3 ! x 3 + … + 1 n ! x n + e x - n + 1 ! x n + 1 .

Se x > 0 , e x - < e x , pois x - ∈ ] 0 , x [ . Logo,

e x - 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3 ! x 3 + … + 1 n ! x n < e n x n + 1 n + 1 !

Como lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 ! = 0 , pelo confronto,

lim n → ∞ ⁡ 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3 ! x 3 + … + 1 n ! x n = e x .

Se x < 0 , e x - < e 0 = 1 , pois x - ∈ ] x , 0 [ . Logo,

e x - 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3 ! x 3 + … + 1 n ! x n < x n + 1 n + 1 !

Como lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 ! = 0 , segue,

lim n → ∞ ⁡ 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3 ! x 3 + … + 1 n ! x n = e x .

Portanto, para todo x, temos

e x = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3 ! x 3 + … + 1 n ! x n + … ,   o u   s e j a ,

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Observação:

Como a série ∑ n = 0 ∞ x n n ! é convergente para todo x, então lim n → ∞ ⁡ x n n ! = 0 para todo x.

Resposta

Demonstração.

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