3.Para cada n ≥ 1 , seja f n x = n n x 2 + 1 .

a) Determine o domínio da função f dada por

f x = lim n → ∞ ⁡ f n ( x )

b) Esboce os gráficos de f e das f n .

c) A sequência f n ,   n ≥ 1 , converge uniformemente a f em ] 0 , + ∞ [ ? E em [ 1 2 , + ∞ [ ?

Passo 1

Letra (a)

O domínio de f é o conjunto de todos os x para os quais a sequência f n ( x ) converge. Sendo assim temos que proceder da seguinte forma:

f x = lim n → ∞ ⁡ f n x = lim n → ∞ ⁡ n n x 2 + 1

Como temos uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito, podemos aplicar L’H.

lim n → ∞ ⁡ 1 x 2 = 1 x 2

Logo, D f = {   x ∈ R       t a l   q u e   x ≠ 0 }

Passo 2

Letra (b)

O esboço do gráfico de f é dado por:

O esboço do gráfico de f n para um dos valores de n é dado por:

Passo 3

Letra (c)

Para convergência ser uniforme, dado ε > 0 tem que existir n 0   (que só depende de ε ) tal que

n > n 0 → n n x 2 + 1 - 1 x 2 < ε

Para todo x real. Como, para todo n > n 0

lim x → ∞ ⁡ n n x 2 + 1 - 1 x 2 = 0

Resulta que a convergência é uniforme no intervalo ] 0 , + ∞ [ . E como o outro intervalo se encontra dentro do anterior, podemos que ela converge uniformemente no outro intervalor também.

Resposta

  1. D f = {   x ∈ R       t a l   q u e   x ≠ 0 }
  2. Figuras
  3. Demonstração
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