Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha )
- com
Passo 1
Primeiramente, vamos relembrar que diaxo é transformada de Laplace; basicamente é o seguinte:
“Seja uma função qualquer definida em , a função é chamada de transformada de Laplace de :
Top, mas como isso se aplica quando estamos falando de equações diferenciais?
É bem tranquilo, basta aplicar a Transformada em ambos os lados da .
Ou seja, como queremos encontrar uma solução para teremos o seguinte:
Passo 2
Agora é sempre bom lembrar que uma das mais importantes propriedades da transformada é que ela “destrói” derivadas.
Calma, vou explicar!
Novamente, seja definida em temos o seguinte:
E
Percebeu??
Então retornando na nossa transformada:
Lembre-se de que o exercício nos da as seguintes condições iniciais:
Dando uma arrumada nessa joça:
Passo 3
Felizmente existe uma tabela que ajuda bastante
Teremos então:
E
Repare que essa ainda não é nossa resposta, pois temos ai a transformada de ; precisamos então tomar o inverso dessa transformada.
Mas calma, é bem simples!
Neste caso só precisamos tomar frações parciais:
E então
Relacionando os dois lados da igualdade, chegamos no sistema:
De onde encontramos:
Retomando:
E
Novamente invocando a tabelinha, teremos o seguinte:
E
Resumo da ópera:
Daí, que
Resposta
Portanto concluímos que a admite uma solução particular do tipo: