Dois tanques 1 e 2, contendo soluções de água e sal, estão interligados por dois tubos que permitem que a solução de um tanque escoe para o outro e vice-versa. Sabe-se que as quantidades de sal S 1 = S 1 t   e   S 2 = S 2 t nos tanques estão variando nas seguintes taxas:

d S 1 d t = - S 1 + S 2 d S 2 d t = S 1 - S 2

Sabe-se, ainda, que o instante t = 0 a quantidade de sal (em k g ) no tanque 1 era de S 1 0 = 15 e o tanque 2 de S 2 0 = 5 .

  1. Determine as quantidades de sal existentes nos tanques no instante t ≥ 0 .

Passo 1

Primeiro de tudo, tente enxergar que temos um sistema com duas equações lineares de 1º ordem, homogêneas, com coeficientes constantes.

Vamos tomar a forma matricial para o sistema:

S ˙ 1 S ˙ 2 = - 1 1 1 - 1 ⏟ A   .   S 1 S 2

Obs: observe que o sistema é obtido multiplicando-se as matrizes.

Lembre-se de que podemos obter a equação característica para o sistema, tomando o seguinte:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz unitária

I = 1 0 0 1

E

λ I = λ 0 0 λ

Logo,

det ⁡ A - λ I = - 1 - λ 1 1 - 1 - λ = 0

Passo 2

Teremos:

λ 2 + 2 λ = 0

De outra forma:

λ λ + 2 = 0

Encontramos então as seguintes raízes:

λ 1 = 0     e   λ 2 = - 2

Essas raízes são conhecidas como autovalores da matriz A ; e para cada autovalor podemos determinar um autovetor.

Seja então, u = m 1 n 1 o autovetor associado ao autovalor λ 1 = 0

Teremos a seguinte solução,

S 1 S 2 = m 1 n 1   e λ 1 t

Para obter m   e   n é só substituir o autovalor na matriz, da seguinte forma:

Passo 3

- 1 - 0 1 1 - 1 - 0   .   m 1 n 1 = 0 0

E teremos um sisteminha do tipo:

- m 1 + n 1 = 0 m 1 - n 1 = 0

Nitidamente, m = n então se adotarmos m = n = 1

E obtemos a seguinte solução para o primeiro autovalor:

S 1 S 2 = 1 1   e 0 t

Guarde essa solução ai.

Vamos tomar agora v = m 2 n 2 como sendo um autovetor para λ 2 = - 2

Novamente,

- 1 + 2 1 1 - 1 + 2   .   m 2 n 2 = 0 0

Então,

- m 2 + 2 m 2 + n 2 = 0 m 2 - n 2 + 2 n 2 = 0

Perceba que m 2 = - n 2 , então se adotarmos novamente m 2 = 1 chegamos no seguinte:

S 1 S 2 = 1 - 1   e - 2 t

A solução geral para o sistema será a soma das duas soluções que encontramos:

S 1 S 2 = C 1 1 1 + C 2 1 - 1   e - 2 t  

Aplicando as condições iniciais que o enunciado nos forneceu:

S 1 0 = C 1 + C 2 = 15 S 2 0 = C 1 - C 2 = 5

Facilmente encontramos C 1 = 10     e     C 2 = 5 .

Então a solução para o nosso sistema:

S 1 S 2 = 10 1 1 + 5 1 - 1   e - 2 t

Resposta

Concluímos que as quantidades de sal existentes nos tanques para qualquer instante t ≥ 0 é obtida da seguinte forma:

S 1 ( t ) = 10 + 5 e - 2 t S 2 ( t ) = 10 - 5 e - 2 t

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