Dois tanques 1 e 2, contendo soluções de água e sal, estão interligados por dois tubos que permitem que a solução de um tanque escoe para o outro e vice-versa. Sabe-se que as quantidades de sal nos tanques estão variando nas seguintes taxas:
Sabe-se, ainda, que o instante a quantidade de sal (em ) no tanque 1 era de e o tanque 2 de
- Determine as quantidades de sal existentes nos tanques no instante
Passo 1
Primeiro de tudo, tente enxergar que temos um sistema com duas equações lineares de 1º ordem, homogêneas, com coeficientes constantes.
Vamos tomar a forma matricial para o sistema:
Obs: observe que o sistema é obtido multiplicando-se as matrizes.
Lembre-se de que podemos obter a equação característica para o sistema, tomando o seguinte:
Onde é a matriz unitária
E
Logo,
Passo 2
Teremos:
De outra forma:
Encontramos então as seguintes raízes:
Essas raízes são conhecidas como autovalores da matriz ; e para cada autovalor podemos determinar um autovetor.
Seja então, o autovetor associado ao autovalor
Teremos a seguinte solução,
Para obter é só substituir o autovalor na matriz, da seguinte forma:
Passo 3
E teremos um sisteminha do tipo:
Nitidamente, então se adotarmos
E obtemos a seguinte solução para o primeiro autovalor:
Guarde essa solução ai.
Vamos tomar agora como sendo um autovetor para
Novamente,
Então,
Perceba que , então se adotarmos novamente chegamos no seguinte:
A solução geral para o sistema será a soma das duas soluções que encontramos:
Aplicando as condições iniciais que o enunciado nos forneceu:
Facilmente encontramos .
Então a solução para o nosso sistema:
Resposta
Concluímos que as quantidades de sal existentes nos tanques para qualquer instante é obtida da seguinte forma: